單點(diǎn)Hopf代數(shù)模上的不變雙線性型

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1、獨(dú)創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果．盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表和撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含為獲得北京工業(yè)大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的材料，與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意．簽名：l南茳日期：砧車(chē)，月節(jié)日關(guān)于論文使用授權(quán)的說(shuō)明本人完全了解北京工業(yè)大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文．(保密的論

2、文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定)簽名：南扛導(dǎo)師簽名：桶七持日期：yd車(chē)j月7日第1章緒論在本碩士論文中，我們總假定所有的代數(shù)、模、向量空間都是在域k上，數(shù)域通常為復(fù)數(shù)域，所有的映射都是線性的．1975年，Radford在文獻(xiàn)f11中構(gòu)造了兩類(lèi)有限維點(diǎn)Hopf代數(shù)．第一類(lèi)點(diǎn)Hopf代數(shù)包含了一個(gè)自對(duì)偶的點(diǎn)Hopf代數(shù)的子類(lèi)，這一子類(lèi)推廣了我們熟知的Taft的Hopf代數(shù)．在1994年，Rm：lford在文獻(xiàn)[2】中，構(gòu)造了兩類(lèi)推廣的點(diǎn)Hopf代數(shù)．第一類(lèi)推廣了我們熟知的Sweedler的四維非可換菲余可換的Hopf代數(shù)；第二類(lèi)是有限維UnimoduleRibbon點(diǎn)Hopf

3、代數(shù)．在1996年，S．Gelaki證明了以上兩類(lèi)點(diǎn)Hopf代數(shù)在某種意義下的唯—性(見(jiàn)文獻(xiàn)【3])．在1999'年，Roxtford在文獻(xiàn)f41中引入了“單點(diǎn)Hopf代數(shù)”的概念，研究了單點(diǎn)Hopf代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，并給出了其判別方法．在2004年，楊士林研究了一類(lèi)有限表示型點(diǎn)Hopf代數(shù)日(Q)的表示理論(見(jiàn)文獻(xiàn)【5])，作為推論給出了單點(diǎn)代數(shù)R(q，Ot)所有不可分解模的分類(lèi)，并且給出了其矩陣形式．文獻(xiàn)『51中得到的所有不可分解模將是本碩士論文的研究對(duì)象．為敘述方便，我們先給出日(n)和R(q，Ot)的定義．設(shè)整數(shù)仉f，，，^，d和7使得亂=，刪以及dl口，

4、這里有1=：和n=tt',／d=md，w是n-次單位根．定義：H(a)=k(z，glxg=w”gx，g”=1，x4=n(擴(kuò)一1))．其中o∈≈假設(shè)chat☆{n，H(Q)是一個(gè)點(diǎn)Hopf代數(shù)．它的余代數(shù)結(jié)構(gòu)為：△(z)=。@97+lox，A(g)=g@gE(z)=o，E(9)=l；z(g)=g～，s(z)=-x9～．我們知道，對(duì)于任何ot∈k，點(diǎn)Hopf代數(shù)日(Q)具有有限表示型(見(jiàn)文獻(xiàn)【51)．由Radford的結(jié)果可知，任何有限維單點(diǎn)Hopf代數(shù)R(q，o)均具有形式R(口n)=k(z，g[zg=q-19x，94=1，z“=o(94一1))這里chark十n，

5、n=md，q是d-次本原單位根．北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文不變雙線性型是代數(shù)表示理論中重要的研究工具．在量子群的表示理論中，不變雙線性型也有很重要的作用．Rosso型是半單李代數(shù)g的量子包絡(luò)代數(shù)碥(g)上的不變雙線性型．我們可以應(yīng)用Rosso型來(lái)構(gòu)造所謂的Harish—Chandra同態(tài)．在文獻(xiàn)(6】中，Joseph在Kac—Moody的情形下定義了Rosso型，并明確地刻畫(huà)了所謂的Harmonic元素的空間．在文獻(xiàn)171中，Kashiwawa利用和Rosso型相關(guān)的雙線性型研究了Crystal基．在2004年。楊士林在限制型Hopf代數(shù)蟛”(s22)的所有有限

6、維半單模和投射模上構(gòu)造了不變雙線性型，給出了相對(duì)應(yīng)的矩陣，并證明了唯一性f81．如何在單點(diǎn)Hopf代數(shù)R(q，n)的所有有限維不可分解模上構(gòu)造R(q，＆)一不變雙線性型的問(wèn)題，目前還沒(méi)有相應(yīng)的結(jié)果．本文的目的是要解決這個(gè)問(wèn)題，并且給出它們所對(duì)應(yīng)的矩陣．本碩士論文主要的研究方法是：根據(jù)日一不變雙線性型的定義，得到其等價(jià)關(guān)系(分別為引理3l、引理4．1和引理5．1)，對(duì)所有的可能情況進(jìn)行討論，適當(dāng)構(gòu)造雙線性型(一，一)使得它是日一不變的，再給出相對(duì)應(yīng)的矩陣，最后證明結(jié)論的正確性．本碩士論文的主要結(jié)論為定理3．7，定理47和定理5．6．在第3章中，作者在單點(diǎn)Hopf代數(shù)

7、R(q，0)的每個(gè)有限維不可分解模上構(gòu)造了n(q，0)一不變雙線性型，并給出相對(duì)應(yīng)的矩陣．我們知道，對(duì)于單點(diǎn)Hopf代數(shù)n(q，0)，設(shè)ei=ii∑，∈矗"og’，這里i∈磊，則孵=R(q，O)e,／R(q，0)zu+lei是u+l維循環(huán)R(q，0)模，其中(“，i)∈乙×磊；它帶有基q(i)=∥島，0≤J≤“．在同構(gòu)的意義下，{A掣i(“，i)∈函X磊)是R(q，0)的所有有限維不可分解模的同構(gòu)類(lèi)的集合．第3章的主要結(jié)論為定理3．7對(duì)于每個(gè)固定的有序?qū)?u，i)∈zdX磊，記單點(diǎn)Hopf代數(shù)R(q，0)的每個(gè)有限維不可分解模嵋‘的基元素為％({)，其中0SJ≤Ⅱ

8、假設(shè)(一，