非交換群上Hopf代數(shù)的模-論文.pdf

《非交換群上Hopf代數(shù)的模-論文.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、第39卷第4期西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2014年4月Vol.39No.4JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition)Apr.2014文章編號(hào):10005471(2014)4000104非交換群上Hopf代數(shù)的模①吳美云1,2,朱曉春1,羅嘉悅2,李成1,林蘇梅21.南通大學(xué)杏林學(xué)院,江蘇南通226007;2.南通大學(xué)理學(xué)院,江蘇南通226007摘要:設(shè)G是二面體群D3,H是G上的一型Hopf代數(shù).用分類(lèi)研究的方法,構(gòu)造出了H的所有互不同構(gòu)的有限維單模.關(guān)鍵詞:Hopf代數(shù);單模;同構(gòu)中圖分類(lèi)號(hào):O1

2、53.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼:AHopf代數(shù)最早是在1941年由HeinzHopf為解決同調(diào)問(wèn)題而引入的,到20世紀(jì)60年代以后迅速發(fā)展起來(lái),成為代數(shù)學(xué)的新學(xué)科.作為域k上的Hopf代數(shù),是同時(shí)具有k代數(shù)結(jié)構(gòu)和它的對(duì)偶結(jié)構(gòu)(余代數(shù)結(jié)構(gòu))并滿(mǎn)足一定相容條件的代數(shù)系統(tǒng).Hopf代數(shù)的分類(lèi)不僅對(duì)于代數(shù)學(xué)內(nèi)部,而且對(duì)數(shù)學(xué)的許多其他領(lǐng)域[1-3]都有廣泛應(yīng)用.借助箭圖來(lái)研究Hopf代數(shù)的分類(lèi)正成為代數(shù)研究的熱門(mén).文獻(xiàn)[4]借助箭圖構(gòu)造了大[5]量逐點(diǎn)Hopf代數(shù).而對(duì)這些Hopf代數(shù)表示的研究將有助于研究Hopf代數(shù)的分類(lèi).本文就其中一類(lèi)有代表性的Hopf代數(shù)上的表示進(jìn)行研究.文中恒設(shè)k為特征不等于2的

3、代數(shù)閉域,代數(shù)、余代數(shù)、張量積均在此域k上討論.本文恒設(shè)ε∈k*是一個(gè)3次本原單位根.所有相關(guān)概念及理論參見(jiàn)文獻(xiàn)[6-7].對(duì)于文獻(xiàn)[4]中的推論2.3,如果令m=p=2,則此推論改述為:命題1Hopf路余代數(shù)kQc(αχχk)的子Hopf代數(shù)kG[kQ1;αk]作為代數(shù)的生成元是:(1)(2)(1)(2)a,b,x1=a1,1,x2=a1,1,z1=ab,1,z2=ab,1生成關(guān)系是:322,x,x,x,za=b=1,ab=ba1a=ax12a=ax21x2=x2x11a=0,z2a=0x1z1=z1x1,x1z2=z2x1,x1b=-bx1,x2b=bx2,z1b=bz1,z2b

4、=-bz2,z1z2=z2z1余代數(shù)結(jié)構(gòu)為:a,b是群象元,Δ(xi)=1?xi+xi?1,ε(xi)=0,S(xi)=-xiΔ(zj)=b?zj+zj?1,ε(zj)=0,S(zj)=-bzji=1,2;j=1,2此為無(wú)限維非交換代數(shù).其中G是二面體群D3,是階數(shù)最小的非交換群.記kG[kQ1;αχk]=H.為了給出H上的所有互不同構(gòu)的有限維單模,我們首先構(gòu)造如下幾類(lèi)有限維單模:(a)一維單模k,其中l(wèi)=1,2.χl對(duì)l=1,2,令χl:kH→k為一個(gè)代數(shù)同態(tài),使得χl(xi)=0,χl(zi)=0,并且χ1(a)=1,χ1(b)=1,①收稿日期:20130201基金項(xiàng)目:國(guó)家自然

5、科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11101229);南通大學(xué)教學(xué)研究基金資助項(xiàng)目(2012B005);江蘇省2013年大學(xué)生創(chuàng)新基金項(xiàng)目;南通大學(xué)2013年大學(xué)生創(chuàng)新基金項(xiàng)目.作者簡(jiǎn)介:吳美云(1971),女,江蘇南通人,副教授,主要從事Hopf代數(shù)的研究.2西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)http://xbbjb.swu.cn第39卷(a)=1,(b)=-1,其中i=1,2.可以驗(yàn)證這樣的代數(shù)同態(tài)是存在且唯一的.令k為kG上由χ決定χ2χ2χli的一維單模.顯然模k與k互不同構(gòu).χχ12同樣,對(duì)j=1,2,令α:kH→k為一個(gè)代數(shù)同態(tài),使得α(x)=,α(z)=0,其中0≠,并jjiξjiξ∈k且

6、有α1(a)=1,α1(b)=1,α2(a)=1,α2(b)=-1.可以驗(yàn)證這樣的代數(shù)同態(tài)是存在且唯一的.令kα為kGj上由χj決定的一維單模.顯然模kα1與kα2互不同構(gòu),且很容易得到kχl與kαj互不同構(gòu).(b)二維單模F(δ),F(ξ,δ),其中ξ,δ∈k,ξδ≠0.令?ε0??01?f(δ)(a)=?÷=Λ1f(δ)(b)=?÷=Λ22è0ε?è10??δ0??00?f(δ)(x1)=?÷=Δ1f(δ)(x2)=?÷=O2f(δ)(z1)=f(δ)(z2)=O2è0-δ?è00?容易驗(yàn)證f(δ)可以唯一地?cái)U(kuò)張為代數(shù)同態(tài)f(δ):kH→M2(k).記對(duì)應(yīng)的kH模為F(δ).容易

7、驗(yàn)證存在唯一的代數(shù)同態(tài)f(ξ,δ):kH→M2(k),使得)=Δ,f(ξ,δ)(a)=Λ1f(ξ,δ)(b)=Λ2f(ξ,δ)(x11?ξ0?f(ξ,δ)(x2)=?÷=ξE2è0ξ?)=O(,δ)(z)=Of(ξ,δ)(z12fξ22記對(duì)應(yīng)的kH模為F(ξ,δ).命題2?如上定義的F(δ)是單kH模,且δ=δ′當(dāng)且僅當(dāng)F(δ)?F(δ′);?如上定義的F(ξ,δ)是單kH模,且F(δ)與F(ξ,δ)互不同構(gòu).證?設(shè)u1,u2是F(δ)的一組k基,使得F(