《中值定理與洛必達(dá)》PPT課件

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1、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理統(tǒng)稱微分學(xué)中值定理，它們?cè)诶碚撋虾蛻?yīng)用上都有著重大意義，尤其是拉格朗日中值定理，它刻劃了函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的變化與導(dǎo)數(shù)概念的局部性之間的聯(lián)系，是研究函數(shù)性質(zhì)的理論依據(jù)。學(xué)習(xí)時(shí)，可借助于幾何圖形來幫助理解定理的條件，結(jié)論以及證明的思路，并初步掌握應(yīng)用微分學(xué)中值定理進(jìn)行論證的思想方法。第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)以及曲線的性態(tài)（如單調(diào)性、凹凸性、漸進(jìn)線等）微分學(xué)中值定理（羅爾定理、拉格朗日中值定理）洛必達(dá)法則——計(jì)算不定型極限利用導(dǎo)數(shù)證明不等式§1.中值定理一、羅爾定理(Rolle1652—1719法國)幾何意義：AB

2、為[a,b]上連續(xù)曲線，且除a,b兩點(diǎn)外都有切線存在，兩端點(diǎn)縱標(biāo)相等，則在(a,b)中至少能找到一點(diǎn)，使這點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)處的切線平行于x軸。ABxy08證：∵f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，∴f(x)在[a,b]必有最大值M及最小值m,有兩種情況:(1)M=m;(2)M>m.(1)若M=m，則m=f(x)=M,f(x)為常數(shù)，即有那么(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)都可取作ξ，∴M=m時(shí)，定理必成立。(2)若M>m，∵f(a)=f(b),∴M,m中至少有一個(gè)不等于f(a)或f(b),不妨設(shè)M≠f(a),(設(shè)m≠f(a)同樣可證）又設(shè)有f(ξ)=M,∵f(x)在(a,b)可導(dǎo)，由

3、極限的保號(hào)性：可見在函數(shù)取到最大值與最小值的點(diǎn)處，其導(dǎo)數(shù)等于0。例：說明：1.羅爾定理的條件是充分的，但非必要的。ξπyxO1.。雖不滿足條件(1)、(3)但仍存在但若條件都不滿足，則一定找不到定理中的ξ。2.特別，當(dāng)f(a)=f(b)=0時(shí)，Rolle定理可簡(jiǎn)述為：若f(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，則在函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間，它的一階導(dǎo)數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)（或一個(gè)根）。例題討論例1：驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)f(x)=sinx在[0，π]上的正確性，并求出ξ。證：滿足羅爾定理?xiàng)l件，∴羅爾定理成立。例2：證：由Rolle定理，至少存在例3：證：由Rolle定理，至少存在證

4、：先證根的存在性：令由零點(diǎn)定理，必有例4：再證唯一性：有兩個(gè)根x1與x2,即設(shè)F(x)=0在(0,1)又∵F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，∴由羅爾定理，必存在但已知∴F(x)=0只有一個(gè)小于1的正根。矛盾!反證：由上述即知，則在x1,x2間有ξ，使則在x1,x2間有ξ，使以此類推。若f(x)在[0,1]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=0，設(shè)F(x)=x2f(x)，試證在（0,1）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使例5：證：∵F(x)在[0,1]連續(xù),在(0,1)可導(dǎo)(由題意),則由羅爾定理，又由羅爾定理，這條件很特殊，若取消這條件，AB弦就不一定平行于x軸，此時(shí)結(jié)論又如何

5、？三、拉格朗日中值定理（Lagrange1736-1813法國）羅爾定理中：拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)（1）在[a,b]上連續(xù)，（2）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得：而右端正是AB弦的斜率.①xAByOabξ1ξ2幾何意義：②式①可寫成:ABxyOabξ1ξ2在上述條件下，曲線AB上至少有一點(diǎn)ξ，使(ξ,f(ξ))處的切線平行于AB弦。ABxyOabξ1ξ2顯然，羅爾定理是L—定理的特殊情況：弦AB平行于x軸。∵曲線AB與弦AB交于A、B點(diǎn)，此處它們的（1）分析：這樣就要使兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，為此引進(jìn)希望能用羅爾定理來證，輔助函數(shù)φ(x)

6、,且要滿足注意，弦AB的方程：f(x)為曲線AB上縱坐標(biāo)，y為弦AB上的縱坐標(biāo)。差即為0，即證：至少存在一點(diǎn)（2）證：作輔助函數(shù)：∵f(x)在[a,b]連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，∴φ(x)在[a,b]連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，則由羅爾定理，須掌握這種引進(jìn)輔助函數(shù)來證明一些等式的方法。例：設(shè)f(x)在[a,b]連續(xù)，在（a,b）可導(dǎo)，證明存在一點(diǎn)分析：由羅爾定理，存在證明：由條件知F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造合理的輔助函數(shù)，可采用反向演繹的思維方式，多掌握一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，如1.說明：又稱為拉格朗日中值公式。若a>b,即在[b,a

7、]中，L—定理仍成立，2.注意：此式并不是①式的反向，ξ的范圍不同。Lagrange中值定理的另一些形式：3.(1)則有③(2)設(shè)x,x+△x為（a,b）內(nèi)任意兩點(diǎn),則f(x)在[x,x+△x]或[x+△x,x]上仍滿足L—定理，在③中令：③④④式即稱為有限增量公式。由此L—定理也稱為有限增量定理，或微分中值定理。④曾知從L—定理可得以下推論：只是△y的近似式，是△y的精確表達(dá)式，它明確表達(dá)了函數(shù)增量與函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。定理：(原已知常數(shù)的的導(dǎo)數(shù)為0，現(xiàn)逆命題也成立)證：由L—定理：由x1,x2的任意性，（P.129）（說明若兩個(gè)函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)