水塔水流量估計(jì)問(wèn)題

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1、水塔水流量估計(jì)問(wèn)題一．問(wèn)題描述某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，一般可以通過(guò)測(cè)量其水位來(lái)估計(jì)水的流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停止供水，這段時(shí)間無(wú)法測(cè)量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí).水塔是一個(gè)高12.2米，直徑17.4米的正園柱．按照設(shè)計(jì)，水塔水位降至約8.2米時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)，水位升到約10.8米時(shí)水泵停止工作．表1是某一天的水位測(cè)量記錄，試估計(jì)任何時(shí)刻（包括水泵正供水時(shí)）從水塔流出的水流量，及一天的總

2、用水量．?dāng)M合水位~時(shí)間函數(shù)二．流量估計(jì)的解題思路擬合水位~時(shí)間函數(shù)擬合水位~時(shí)間函數(shù)1.擬合水位~時(shí)間函數(shù)測(cè)量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段（以下稱(chēng)第1供水時(shí)段和第2供水時(shí)段），和3個(gè)水泵不工作時(shí)段（以下稱(chēng)第1時(shí)段t=0到t=8.97，第2次時(shí)段t=10.95到t=20.84和第3時(shí)段t=23以后）。對(duì)第1、2時(shí)段的測(cè)量數(shù)據(jù)直接分別作多項(xiàng)式擬合，得到水位函數(shù)．為使擬合曲線(xiàn)比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，一般在3~6．由于第3時(shí)段只有3個(gè)測(cè)量記錄，無(wú)法對(duì)這一時(shí)段的水位作出較好的擬合。2.確定流量~時(shí)間函數(shù)對(duì)于第1、

3、2時(shí)段只需將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可，對(duì)于兩個(gè)供水時(shí)段的流量，則用供水時(shí)段前后（水泵不工作時(shí)段）的流量擬合得到，并且將擬合得到的第2供水時(shí)段流量外推，將第3時(shí)段流量包含在第2供水時(shí)段內(nèi)．3.一天總用水量的估計(jì)總用水量等于兩個(gè)水泵不工作時(shí)段和兩個(gè)供水時(shí)段用水量之和，它們都可以由流量對(duì)時(shí)間的積分得到。三．算法設(shè)計(jì)與編程1、擬合第1時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量設(shè)t，h為已輸入的時(shí)刻和水位測(cè)量記錄（水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入），第1時(shí)段各時(shí)刻的流量可如下得：1）c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）；%用3次

4、多項(xiàng)式擬合第1時(shí)段水位，c1輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）；%a1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)3）tp1=0：0.1：9；x1=-polyval（a1，tp1）；%x1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為a1）在tp1點(diǎn)的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp1時(shí)刻的流量4）流量函數(shù)為：2、擬合第2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量設(shè)t，h為已輸入的時(shí)刻和水位測(cè)量記錄（水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入），第2時(shí)段各時(shí)刻的流量可如下得：1）c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)；%用3次多項(xiàng)式

5、擬合第2時(shí)段水位，c2輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2）a2=polyder(c2)；%a2輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)3）tp2=10.9:0.1:21;x2=-polyval(a2,tp2);%x2輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為a2）在tp2點(diǎn)的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp2時(shí)刻的流量4）流量函數(shù)為：3、擬合供水時(shí)段的流量在第1供水時(shí)段（t=9~11）之前（即第1時(shí)段）和之后（即第2時(shí)段）各取幾點(diǎn)，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時(shí)段的流量．為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡(jiǎn)單地只取4個(gè)點(diǎn)，擬合3次多項(xiàng)式

6、（即曲線(xiàn)必過(guò)這4個(gè)點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)如下：xx1=-polyval（a1，[89]）；%取第1時(shí)段在t=8,9的流量xx2=-polyval（a2，[1112]）；%取第2時(shí)段在t=11,12的流量xx12=[xx1xx2]；c12=polyfit（[891112]，xx12，3）；%擬合3次多項(xiàng)式tp12=9：0.1：11；x12=polyval（c12，tp12）；%x12輸出第1供水時(shí)段各時(shí)刻的流量擬合的流量函數(shù)為：在第2供水時(shí)段之前取t=20，20.8兩點(diǎn)的流水量，在該時(shí)刻之后（第3時(shí)段）僅有3個(gè)水位記錄，

7、我們用差分得到流量，然后用這4個(gè)數(shù)值擬合第2供水時(shí)段的流量如下：dt3=diff（t(22：24)）；%最后3個(gè)時(shí)刻的兩兩之差dh3=diff（h(22：24)）；%最后3個(gè)水位的兩兩之差dht3=-dh3./dt3；%t(22)和t(23)的流量t3=[2020.8t(22)t(23)]；xx3=[-polyval(a2，t3(1：2))，dht3]；%取t3各時(shí)刻的流量c3=polyfit（t3，xx3，3）；%擬合3次多項(xiàng)式tp3=20.8：0.1：24；x3=polyval（c3，tp3）；%x3輸

8、出第2供水時(shí)段（外推至t=24）各時(shí)刻的流量擬合的流量函數(shù)為：4、一天總用水量的估計(jì)第1、2時(shí)段和第1、2供水時(shí)段流量的積分之和，就是一天總用水量．雖然諸時(shí)段的流量已表為多項(xiàng)式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計(jì)算如下：y1=0.1*trapz(x1)；%第1時(shí)段用水量（仍按高度計(jì)），0.1為積分步長(zhǎng)y2=0.1*trapz(x2)；%第2時(shí)段用水量y12=0.1*trapz(x12)；%第1供水時(shí)段用水