估計水塔水流量ppt課件.ppt

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1、估計水塔的水流量一、問題美國某州的各用水管理機(jī)構(gòu)要求各社區(qū)提供以每小時多少加侖計的用水率以及每天所用的總水量，但許多社區(qū)并沒有測量流入或流出當(dāng)?shù)厮乃康脑O(shè)備，他們只能代之以每小時測量水塔中的水位，其精度在0.5%以內(nèi)。更為重要的是，無論什么時候，只要水塔中的水位下降到某一最底水位L時，水泵就啟動向水塔重新充水直至到某一最高水位H，但也無法得到水泵的供水量的測量數(shù)據(jù)。因此，在水泵正在工作時，人們不容易建立水塔中的水位與水泵工作時的用水量之間的關(guān)系，水泵每天向水塔充水一次或兩次，每次約兩小時，試估計在任何

2、時刻，甚至包括水泵正在工作的時間內(nèi)，水從水塔流出的流量f(t)，并估計一天的總用水量。實例（AMCM-91A題）估計水塔的水流量時間水位時間水位時間水位（秒）（0.01英尺）（秒）（0.01英尺）（秒）（0.01英尺）0313735932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579154水泵工作13937294746636335082649水泵工作17921289249953326

3、0859683475212402850539363167899533397252232797572543087932703340285432752605743012322842697645542927表1、某小鎮(zhèn)某天的水塔水位表1給出了某個真實小鎮(zhèn)的真實數(shù)據(jù),水塔是一個圓形柱體，高40英尺，直徑57英尺，通常水塔的水位降至約27英尺時水泵開始向水塔充水，而當(dāng)通常水塔的水位升至約35.5英尺時水泵停止向水塔充水。二、基本假設(shè)1、影響水從水塔流出的流率的唯一因素是公眾對水的傳統(tǒng)要求。2、水塔中水的水位不影響水

4、流量的大小。（因為物理學(xué)的定律指出：水塔的最大水流量與水位高度的平方根成正比，由表中數(shù)據(jù)有說明最高水位和最底水位的兩個流量幾乎相等）3、水泵工作的起止時間由水塔的水位決定，水泵工作性能效率總是一定的，沒有工作時需維修、使用次數(shù)多影響使用效率問題，水泵充水量遠(yuǎn)大于水塔水流量。一、問題的重述（略）對離散數(shù)據(jù)的處理，可以用數(shù)據(jù)逼近的方法來解決，本問題要想到用數(shù)值逼近來建模，數(shù)值逼近的方法有很多，如Lagrange插值、分段插值、樣條插值、曲線擬合等.本問題分三步：1、先決定所給數(shù)據(jù)點(diǎn)處的水流量。（數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換即可）

5、2、找一個水從水塔流出的水流量光滑逼近函數(shù)3、處理水泵工作時的充水水流量及一天該鎮(zhèn)的總用水量下面介紹樣條插值理論4、表中的時間數(shù)據(jù)準(zhǔn)確在一秒以內(nèi)。5、水塔水流量與水泵狀態(tài)獨(dú)立，不因水泵工作而增加或減少水流量的大小。6、水塔水流量曲線可以用一條光滑的曲線來逼近。樣條插值分段插值存在著一個缺點(diǎn),就是會導(dǎo)致插值函數(shù)在子區(qū)間的端點(diǎn)(銜接處)不光滑,即導(dǎo)數(shù)不連續(xù),對于一些實際問題,不但要求一階導(dǎo)數(shù)連續(xù),而且要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。為了滿足這些要求,人們引入了樣條插值的概念。所謂“樣條”(SPLINE)是工程繪圖中的一種工

6、具,它是有彈性的細(xì)長木條,繪圖時,用細(xì)木條連接相近的幾個結(jié)點(diǎn),然后再進(jìn)行拼接,連接全部結(jié)點(diǎn),使之成為一條光滑曲線,且在結(jié)點(diǎn)處具有連續(xù)的曲率。樣條函數(shù)就是對這樣的曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬得到的。它除了要求給出各個結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值外,只需提供兩個邊界點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)信息,便可滿足對光滑性的不同要求。1、樣條函數(shù)的定義設(shè)f(x)是區(qū)間[a,b]上的一個連續(xù)可微函數(shù),在區(qū)間[a,b]上給定一組基點(diǎn):a=x0

7、1)上是次數(shù)不超過m的多項式;(2)s(x)在區(qū)間[a,b]上有m-1階連續(xù)導(dǎo)數(shù);則稱s(x)是定義在[a,b]上的m次樣條函數(shù)。x0，x1，x2,???稱為樣條結(jié)點(diǎn),其中x1,???,xn-1稱為內(nèi)結(jié)點(diǎn),x0,xn稱為邊界結(jié)點(diǎn)。當(dāng)m=3時,便成為最常用的三次樣條函數(shù)。設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0，x1，x2,???xn的值為y0，y1，y2,???yn，若函數(shù)S(x)滿足下列條件S(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2,???,n(1.1)則稱S(x)為函數(shù)f(x)的三次樣條插值函數(shù),簡稱三次樣條。2、三

8、次樣條插值函數(shù)構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的方法有很多，這里介紹一個常用的方法：三彎矩插值法記Mi=S″(xi),f(xi)=fi=yi,考慮它在任一區(qū)間[xi,xi+1]上的形式.根據(jù)三次樣條的定義可知,S(x)的二階導(dǎo)數(shù)S″(x)在每一個子區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上都是線性函數(shù).于是在[xi,xi+1]上S(x)=Si(x)的二階導(dǎo)數(shù)表示成(1.2)其中hi=xi+1–xi.對S″(x)連續(xù)積分兩次