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1、實(shí)驗(yàn)水塔水流量的估計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋敬螌?shí)驗(yàn)的主要目的是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行插值計(jì)算并解決一些具體的實(shí)際問(wèn)題。介紹一些經(jīng)典的插值方法，包括拉格朗日插值法、埃爾米特插值法、分段插值法、三次樣條插值法等等。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1實(shí)驗(yàn)問(wèn)題美國(guó)某州的各用水管理機(jī)構(gòu)要求各社區(qū)提供以每小時(shí)多少加侖計(jì)的用水率以及每天所用的總水量。許多社區(qū)沒(méi)有測(cè)量流入或流出水塔的水量裝置,他們只能代之以每小時(shí)測(cè)量水塔中的水位,其誤差不超過(guò)5%。更重要的是,當(dāng)水塔中的水位下降到最低水位L時(shí)水泵就啟動(dòng)向水塔輸水直到最高水位H,期間不能測(cè)量水泵的供水量。因此,當(dāng)水泵正在輸水時(shí)不容易建立水塔中水位和用水量之間的關(guān)系。水泵每天輸水一次
2、或兩次,每次約二小時(shí)。試估計(jì)任何時(shí)刻(包括水泵正在輸水時(shí)間)從水塔流出的水流量f(t),并估計(jì)一天的總用水量。已知該水塔是一個(gè)高為40英尺（ft），直徑為57英尺(ft)的正圓柱，表12.1給出了某個(gè)小鎮(zhèn)一天水塔水位的真實(shí)數(shù)據(jù)，水位降至約27.00ft水泵開(kāi)始工作,水位升到35.50ft停止工作。(注：1英尺（ft）=0.3024米（m）)表12-1某小鎮(zhèn)某天水塔水位時(shí)間/s水位/0.01ft時(shí)間/s水位/0.01ft03175466363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574
3、301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254水泵開(kāi)動(dòng)35932水泵開(kāi)動(dòng)82649水泵開(kāi)動(dòng)39332水泵開(kāi)動(dòng)8596834753943535508995333974331834459327033402問(wèn)題分析流量是單位時(shí)間內(nèi)流出水的體積,由于水塔是正圓柱形,橫截面積是常數(shù),所以在水泵不工作時(shí)段,流量很容易根據(jù)水位相對(duì)時(shí)間的變化率算出。問(wèn)題的難點(diǎn)在于如何估計(jì)水泵供水時(shí)段的流量。水泵供水時(shí)段的流量只能靠供水時(shí)段前后的流量經(jīng)插值或擬合得到。作為用于插
4、值或擬合的原始數(shù)據(jù),我們希望水泵不工作時(shí)段的流量越準(zhǔn)確越好。這些流量大體上可由兩種方法計(jì)算,一是直接對(duì)表12.1中的水量用數(shù)值微分算出各時(shí)段的流量,用它們擬合其它時(shí)刻或連續(xù)時(shí)間的流量;二是先用表中數(shù)據(jù)擬合水位—時(shí)間函數(shù),求導(dǎo)數(shù)即可得到連續(xù)時(shí)間的流量。有了任何時(shí)刻的流量,就不難計(jì)算一天的總用水量。其實(shí),水泵不工作時(shí)段的用水量可以由測(cè)量記錄直接得到,由表12.1中下降水位乘以水塔的截面積就是這一時(shí)段的量這個(gè)數(shù)值可以用來(lái)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)插值或擬合的結(jié)果。模型建立為了表示方便,我們將問(wèn)題中所給表12-1中的數(shù)據(jù)全部化為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位（表12-5）,時(shí)間用小時(shí)(h),高度用米(m):表12-5一
5、天內(nèi)水塔水位記錄時(shí)間(h)水位(m)時(shí)間(h)水位(m)09.6812.9510.210.929.4513.889.941.849.3114.989.652.959.1315.909.413.878.9816.839.184.988.8117.938.925.908.6919.048.667.008.5219.968.437.938.3920.848.228.978.2222.02水泵開(kāi)動(dòng)9.98水泵開(kāi)動(dòng)22.96水泵開(kāi)動(dòng)10.93水泵開(kāi)動(dòng)23.8810.5910.9510.8224.9910.3512.0310.5025.9110.18模型假設(shè)(1)流量只取決于水位差,與水
6、位本身無(wú)關(guān)，故由物理學(xué)中Torricelli定律：從小孔流出的液體的流速正比于水面高度的平方根。題目給出水塔的最低和最高水位分別是8.1648m（27×0.3024）和10.7352m（35.50×0.3024）(設(shè)出口的水位為零)，因?yàn)閟qrt(10.7352/8.1648)≈1.1467，約為1,所以可忽略水位對(duì)流速的影響。（2）將流量看作是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，為計(jì)算簡(jiǎn)單,不妨將流量定義成單位時(shí)間流出水的高度,即水位對(duì)時(shí)間變化率的絕對(duì)值(水位是下降的),水塔截面積為S=(57*0.3048)^2*π/4=237.8(m^2).得到結(jié)果后乘以S即可。流量估計(jì)方法首先依照表12-
7、5所給數(shù)據(jù),用MATLAB作出時(shí)間—水位散點(diǎn)圖12.7。Fig.12.7下面我們來(lái)計(jì)算水箱流量與時(shí)間的關(guān)系。根據(jù)表12-5中數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖12.7，一種簡(jiǎn)單的處理方法為先將表12-5中的數(shù)據(jù)分為三段，然后對(duì)每一段的數(shù)據(jù)做如下處理：設(shè)某段數(shù)據(jù)為，相鄰數(shù)據(jù)中點(diǎn)的平均流速用下面的公式(流速=（左端點(diǎn)的水位-右端點(diǎn)的水位）/區(qū)間長(zhǎng)度)：，每段數(shù)據(jù)首尾點(diǎn)的流速用下面的公式計(jì)算：，，用以上公式求得時(shí)間與流速之間的數(shù)據(jù)表12-6如下:表12-6時(shí)間(h)流速(cm/h)時(shí)間(h)流速(cm/h)029.8912.4931
