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《奇偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用資料》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、奇偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)奇偶函數(shù)的性質(zhì)1）若函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間d的奇函數(shù)，則具備以下性質(zhì)：a.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即：若定義域?yàn)閇a,b]，則a+b=0;b.對(duì)于定義域內(nèi)任意x都有f（-x）=-f（x）；c.圖像關(guān)于原點(diǎn)（0,0）對(duì)稱；d.若0∈d則f（0）=0;e.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間具有相同的單調(diào)性。2）若函數(shù)是定義在區(qū)間d的偶函數(shù)，則具備以下性質(zhì)：a.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即：若定義域?yàn)閇a,b]，則a+b=0;b.對(duì)于定義域內(nèi)任意x都有f（-x）=f（x）=f（
2、x
3、）；c.圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；d.偶函數(shù)在關(guān)于
4、原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間具有相反的單調(diào)性二、奇偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用熱點(diǎn)題型一：利用奇偶性求參數(shù)的值例1 已知f（x）=ax2+bx是定義在[a-1,2a]的偶函數(shù)，那么a+b的值為.解：∵f（x）是定義在[a-1,2a]的偶函數(shù)，∴b=0a-1+2a=0，解得b=0,a=故a+b=.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于多項(xiàng)式型的函數(shù)f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）為奇函數(shù)，則應(yīng)只保留x的奇次項(xiàng)，若為偶函數(shù)則應(yīng)只保留x的偶次項(xiàng).故b=0，又奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故a-1+2a=0.例2 已知函數(shù)f（x）=是定義在r上的奇函數(shù)，求a的值.解法一：∵f（x
5、）是定義在r上的奇函數(shù)∴f（x）=0，即：=0，∴a=1解法二：∵f（x）是定義r在的奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x）即：=-整理得（2a-2）（2x+1）=0∴2a-2=0解之得a=1點(diǎn)評(píng)：對(duì)于奇函數(shù)f（x），若0∈f（0）定義域，則此性質(zhì)可大大減少運(yùn)算量。故首選f（0）=0，若0?埸定義域，再考慮f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。熱點(diǎn)題型二：利用奇偶性求函數(shù)解析式例3 已知函數(shù)f（x）是定義在r上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1+x）求出函數(shù)的解析式。解：當(dāng)x0∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x（1+x）∴f（-x）=-x（1-x）
6、∵f（x）是r上的奇函數(shù)∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）∴f（x）=x（1+x），（x≥0）x（1-x），（x（2）綜合（1）（2）得7、x
8、），可以避免討論。真可謂是“巧取絕對(duì)值，妙解不等式”。熱點(diǎn)題型四：利用奇偶函數(shù)圖像解題例5 已知f（x）是定義在r的偶函數(shù)且f（2）=0，在區(qū)間[0，+∞)遞增，求f（x）的解集.分析：做出符合條件的一種圖形，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.如：點(diǎn)評(píng)：奇偶函數(shù)具有對(duì)稱性，因此作圖時(shí)，可以先做出y軸右邊的圖象，在根據(jù)對(duì)稱性畫出y軸左邊的圖像，就可得出整
9、個(gè)定義域內(nèi)的圖像.熱點(diǎn)題型五：奇偶性與對(duì)稱性周期性相結(jié)合解綜合型題例6 已知定義在r上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則（）a.f（-25）10、f（-25）=f（-1），f（80）=f（0），f（11）=f（3）=f（1）∵f（x）在[0,2]是增函數(shù)∴f（x）在[-2,0]上是增函數(shù)∴f（-1）11、=2b-a.3）若函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0），直線x=b對(duì)稱，則f（x）為周期函數(shù)，且最小正周期t=4b-a.
