奇偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

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1、奇偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用一、知識點總結(jié)奇偶函數(shù)的性質(zhì)1)若函數(shù)f(X)是定義在區(qū)間d的奇函數(shù)，則具備以下性質(zhì)：3?定義域關(guān)于原點對稱，即:若定義域為［a,b］,則a+b二0;b?對于定義域內(nèi)任意x都有f(-x)二-f(x)；c.圖像關(guān)于原點(0,0)對稱；d.若OGd貝Ijf(0)=0;e.奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間具有和同的單調(diào)性。2)若函數(shù)是定義在區(qū)間d的偶函數(shù)，則具備以下性質(zhì)：a.定義域關(guān)于原點對稱，即：若定義域為［a,b］,則a+b=O;b.對于定義域內(nèi)任意x都有f(-x)=f(x)=f(

2、x

3、)；c.

4、圖像關(guān)于y軸對稱；d?偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間具有和反的單調(diào)性二、奇偶函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用熱點題型一：利用奇偶性求參數(shù)的值例1已知f(X)二a‘x2+bx是定義在［a-1,2a］的偶函數(shù)，那么a+b的值為解:Vf(x)是定義在［a-l,2a］的偶函數(shù)，?"二0a~l+2a-09解得b=0,a=故a+b二.點評：對于多項式型的函數(shù)f(x)二alxn+a2xnT+???+an,若f(x)為奇函數(shù)，則應(yīng)只保留X的奇次項，若為偶函數(shù)則應(yīng)只保留X的偶次項?故b二0,又奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，故a-14-2a=0?例2已

5、知函數(shù)f(x)二是定義在r上的奇函數(shù)，求a的值.解法一：Tf(x)是定義在r上的奇函數(shù)???f(x)二0,即:二0,a=l解法二：?.?f(x)是定義r在的奇函數(shù)/.f(-x)=-f(x)BP：二-整理得(2a-2)(2x+l)二0???2a-2=0解之得a=l點評：對于奇函數(shù)f(x),若OGf(0)定義域，則此性質(zhì)可大大減少運算量。故首選f(0)二0,若0?埸定義域，再考慮f(-x)=-f(x),利用恒等式求解。熱點題型二：利用奇偶性求函數(shù)解析式例3已知函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù)，當x$0時，f(x)

6、=x(1+x)求出函數(shù)的解析式。解：當X0?.?當x20時，f(x)二x(1+x).?.f(-X)二一X(1-X)Vf(x)是r上的奇函數(shù).?.f(x)二一f(-X)二X(1-x)Af(x)=x(1+x),(x$0)x(1-x),(x(2)綜合(1)(2)得5W2點評：對于偶函數(shù)有f(-x)二f(x)二f(

7、x

8、),可以避免討論。真可謂是“巧取絕對值，妙解不等式”。熱點題型四：利用奇偶函數(shù)圖像解題例5已知f(x)是定義在r的偶函數(shù)且f(2)=0,在區(qū)間［0,+°°)遞增，求f(x)的解集?分析：做出符合條件的

9、一種圖形，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.如：點評：奇偶函數(shù)具有對稱性，因此作圖吋，可以先做出y軸右邊的圖象，在根據(jù)對稱性畫出y軸左邊的圖像，就可得出整個定義域內(nèi)的圖像.熱點題型五：奇偶性與對稱性周期性相結(jié)合解綜合型題例6已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)二-f(x),且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，則()a.f(-25)

10、x)=-f(x)?/f(x-4)二-f(x)f(x-4)=f(x).?.的圖像關(guān)于直線x=2對稱又f(x)的圖像關(guān)于點(0,0)對稱??.f(x)是周期函數(shù)且最小正周期t二4(2-0)二8f(-25)二f(-1),f(80)二f(0),f(11)二f(3)二f(1)???f(x)在［0,2］是增函數(shù)???f(x)在［-2,0］上是增函數(shù)???f(-1)

11、應(yīng)用能力。關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，常用的結(jié)論有：1)若函數(shù)f(X)關(guān)于直線X二3,x=b對稱，則f(x)為周期函數(shù)，且最小正周期t=2b-a.2)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)為周期函數(shù)，且最小正周期t=2b-a.2)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0),直線x二b對稱，則f(x)為周期函數(shù)，且最小正周期tMb-a?