15-4一維勢阱和勢壘

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1、§16-3一微無限深方勢阱中的粒子一、一維無限深方形勢阱二、薛定諤方程和波函數(shù)三、舊量子論的半經(jīng)典解釋1舉幾個(gè)小例1)說明量子力學(xué)解題的思路2)了解量子力學(xué)給出的一些重要的結(jié)論21.由粒子運(yùn)動的實(shí)際情況正確地寫出勢函數(shù)U(x)2.代入定態(tài)薛定諤方程3.解方程4.解出能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)5.求出概率密度分布及其他力學(xué)量一、量子力學(xué)解題的一般思路3二、幾種勢函數(shù)1.自由粒子2.方勢阱無限深方勢阱能級結(jié)構(gòu)問題方勢阱4方勢阱是實(shí)際情況的極端化和簡化分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢肼金屬中的電子53.勢壘梯形勢散射問題勢壘隧道貫穿

2、64.其他形式超晶格諧振子7a金屬U(x)U=U0U=U0EU=0x極限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a無限深方勢阱（potentialwell）一、一維無限深方形勢阱功函數(shù)分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢肼8U=0EU→∞U→∞U(x)x0a特點(diǎn)：粒子在勢阱內(nèi)受力為零勢能為零在阱內(nèi)自由運(yùn)動在阱外勢能為無窮大在阱壁上受極大的斥力不能到阱外91.勢函數(shù)粒子在阱內(nèi)自由運(yùn)動不能到阱外二、薛定諤方程和波函數(shù)阱外??0阱內(nèi)0102.哈密頓量3.定態(tài)薛定諤方程阱外：阱內(nèi)：??011根據(jù)波函數(shù)有限的條件阱外1)阱外4.分區(qū)求通解12令2)

3、阱內(nèi)為了方便將波函數(shù)腳標(biāo)去掉將方程寫成通解式中A和B是待定常數(shù)135.由波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和邊界條件定特解通解是(1)解的形式解的形式為(2)能量取值14A已經(jīng)為零了B不能再為零了即只能sinka等于零要求能量可能值151)每個(gè)可能的值叫能量本征值2)束縛態(tài)粒子能量取值分立(能級概念)能量量子化3)最低能量不為零波粒二象性的必然結(jié)果請用不確定關(guān)系說明4)當(dāng)n趨于無窮時(shí)能量趨于連續(xù)5)通常表達(dá)式寫為討論L--阱寬16(3)本征函數(shù)系由歸一性質(zhì)定常數(shù)B得本征函數(shù)17考慮到振動因子（駐波解）6.定態(tài)波函數(shù)187.概率密度19小結(jié)

4、：本征能量和本征函數(shù)的可能取值20一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)和概率密度oaao21時(shí)，?量子?經(jīng)典玻爾對應(yīng)原理

5、2Ψn

6、an很大En022三、舊量子論的半經(jīng)典解釋粒子在阱外的波函數(shù)為零允許的波長為:粒子的動量粒子在勢阱內(nèi)動量為阱內(nèi)的波函數(shù)在阱壁上的值也必為零（駐波）量子化能量由波函數(shù)的連續(xù)性23能量量子化是粒子的波動性和邊界條件的必然o允許的波長為:24§16-3一維勢阱和勢壘問題一、一維無限深方勢阱對于一維無限深方勢阱有∞0aU(x)∞勢阱內(nèi)U(x)=0，哈密頓算符為定態(tài)薛定諤方程為令薛定諤方程的解為25根據(jù)，可

7、以確定?=0或m?，m=1,2,3,???。于是上式改寫為根據(jù)，得ka=n?，n=1,2,3,…因?yàn)楫?dāng)n=0時(shí)，必定k=0，定態(tài)薛定諤方程應(yīng)有解得?(x)?Cx+D所以由此式知：一維無限深方勢阱的能譜是分立譜,這個(gè)分立的能譜就是量子化了的能級。基態(tài)的能量為零點(diǎn)能26與能量本征值En相對應(yīng)的本征函數(shù)?n(x)為利用歸一化條件，得歸一化波函數(shù)為一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度穩(wěn)定的駐波能級27得到兩相鄰能級的能量差例題1設(shè)想一電子在無限深勢阱，如果勢阱寬度分別為1.0×10-2m和10-10m。試討論這兩中情

8、況下相鄰能級的能量差。解：根據(jù)勢阱中的能量公式可見兩相鄰能級間的距離隨著量子數(shù)的增加而增加，而且與粒子的質(zhì)量m和勢阱的寬度a有關(guān)。28在這種情況下，相鄰能級間的距離是非常小的，我們可以把電子的能級看作是連續(xù)的。當(dāng)a=10-10m時(shí)在這種情況下，相鄰能級間的距離是非常大的，這時(shí)電子能量的量子化就明顯的表現(xiàn)出來。當(dāng)a=1cm時(shí)29當(dāng)n>>1時(shí),能級的相對間隔近似為可見能級的相對間隔隨著n的增加成反比地減小。要小的多。這時(shí)，能量的量子較之當(dāng)時(shí)，化效應(yīng)就不顯著了，可認(rèn)為能量是連續(xù)的，經(jīng)典圖樣和量子圖樣趨與一致。所以，經(jīng)典物理可

9、以看作是量子物理中時(shí)的極限情況。量子數(shù)30例題2.試求在一維無限深勢阱中粒子概率密度的最大值的位置。解：一維無限深勢阱中粒子的概率密度為將上式對x求導(dǎo)一次，并令它等于零因?yàn)樵谮鍍?nèi)，即只有31于是由此解得最大值得位置為例如可見，概率密度最大值的數(shù)目和量子數(shù)n相等。最大值位置最大值位置最大值位置32這時(shí)最大值連成一片，峰狀結(jié)構(gòu)消失，概率分布成為均勻，與經(jīng)典理論的結(jié)論趨于一致。相鄰兩個(gè)最大值之間的距離如果阱寬a不變，當(dāng)時(shí)33二、勢壘穿透和隧道效應(yīng)有限高的勢壘在P區(qū)和S區(qū)薛定諤方程的形式為其中在Q區(qū)粒子應(yīng)滿足下面的方程式式中3

10、4用分離變量法求解，得(P區(qū))(Q區(qū))(S區(qū))在P區(qū)，勢壘反射系數(shù)在Q區(qū)，勢壘透射系數(shù)粒子能夠穿透比其動能高的勢壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。如圖是在隧道效應(yīng)中波函數(shù)分布的示意圖。隧道效應(yīng)的應(yīng)用：掃描隧道顯微鏡(STM)隧道二極管35經(jīng)典量子隧道效應(yīng)36例1:證明無限深方勢阱中，不同能級的粒子波函數(shù)具有下面正交性的性質(zhì)：即不同能級的波函