塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

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1、第七章塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§7.1廣義虎克定律材料力學(xué)和彈性力學(xué)中的廣義胡克定律，建立的就是應(yīng)力和全量應(yīng)變之間的關(guān)系，只是其局限在彈性范圍內(nèi)。彈塑性變形的全量理論實際上可看成是廣義胡克定律在彈塑性范圍中的推廣，兩者在表現(xiàn)形式上是相似的。因此，回顧一下廣義胡克定律，找出它的特點，對于建立彈塑性問題的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系是有幫助的。由材料力學(xué)知道，對于各向同性彈性體，廣義胡克定律表示為：1ε=[σ?ν(σ+σ)]xxyzE1ε=[σ?ν(σ+σ)]yyzxE1ε=[σ?ν(σ+σ)]（7.1—1）zzxyE11+νε=τ=τxyxyxy2GE11+νε=τ=τyzyzyz2GE1

2、1+νε=τ=τzxzxzx2GE用指標(biāo)符號，上式可表示為：1+ν?ν?1?ν?εij=?σij?σkkδij?=?σij?σkkδij?（7.1—2）2?1+ν?2G?1+ν?將式（7.1—1）的前三項相加，得：1?2νε=σ（7.1—3）mmE代入式（7.1—2），可得到用應(yīng)變表示應(yīng)力的關(guān)系式：EνEνEσij=εij+σkkδij=(eij+δijεm)+?3εmδij1+ν1+ν1+ν1+ν1?2νEE=e+εδijmij1+ν1?2ν（7.1—4）=2Ge+3KεδijmijE式中：K=稱為體積彈性模量，表示產(chǎn)生單位體積變形所需要的應(yīng)力。考慮3(1?2ν)

3、到：1σ=S+σδ（7.1—5）ijijmij代入上式后得到廣義胡克定律的另一形式：S=2Ge（7.1—6）ijij式（7.1—5）的展開式為：σx=2Gex+3Kεm,τxy=2Gexy??σy=2Gey+3Kεm,τyz=2Geyz?（7.1—7）?σ=2Ge+3Kε,τ=2Gezzmzxzx?在廣義胡克定律中，材料常數(shù)有楊氏彈性模量E，剪切彈性模量G，體積彈性模量K和泊松比ν，其中只有兩個是獨立的，可以表示出其他兩個材料常數(shù)。下面將進一步討論應(yīng)力莫爾圓和應(yīng)變莫爾圓之間的關(guān)系。由式（7.1—7）可得到：σ?σ=2G(e?e)=2G(ε?ε)xyxyxyσ?σ=2

4、G(ε?ε)yzyzσ?σ=2G(ε?ε)（7.1—8）zxzx改寫成主應(yīng)力和主應(yīng)變的形式，有:σ?σ=2G(ε?ε)1212σ?σ=2G(ε?ε)2323σ?σ=2G(ε?ε)（7.1—9）3131因而有：σ?σσ?σσ?σ12=23=31=2G（7.1—10）ε?εε?εε?ε122331可見，服從廣義胡克定律的各向同性線彈性材料，其應(yīng)力莫爾圓與應(yīng)變莫爾圓在幾何上是相似的，應(yīng)力羅代參數(shù)μ等于應(yīng)變羅代參數(shù)μ。等效應(yīng)力與等效應(yīng)變之間也有簡σε單關(guān)系。由等效應(yīng)力定義式得：1222σ=(σ?σ)+(σ?σ)+(σ?σ)12233122G222=(ε?ε)+(ε?ε)+(

5、ε?ε)1223312=3Gε（7.1—11）與σ=Eε比較得量E＝3G，這是由于在等效應(yīng)變的定義式中，系數(shù)的選擇已經(jīng)考慮到材料是不可壓縮的，泊松比ν取值為0.5的緣故。由上述討論可以得到以下幾點結(jié)論：1．平均應(yīng)力與體積應(yīng)變成正比；2．應(yīng)力偏張量與應(yīng)變偏張量成正比；3．應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向重合；4．等效應(yīng)力與等效應(yīng)變成正比?！?.2全量理論及基本方程組2全量理論研究的是材料的應(yīng)力和全量應(yīng)變之間的物理關(guān)系。全量理論又稱為形變理論，它主要曾由漢基和依留申等人研究過，所以有時也稱為漢基—依留申理論。當(dāng)材料發(fā)生彈塑性變形時，一般來說，全量應(yīng)變與加載歷史有關(guān)，因此要建立普遍

6、的應(yīng)力和全量應(yīng)變間的關(guān)系是困難的。只有在某些特定的加載方式下，例如在簡單加載的情況下，才能建立起便于實際應(yīng)用的全量理論應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系。一、依留申理論依留申理論是全量理論中最簡單的一種理論，它聯(lián)系在小彈塑性變形范圍內(nèi)的全量應(yīng)變與應(yīng)力之問的關(guān)系。所謂小彈塑性變形范圍，就是指離彈性狀態(tài)不遠，即使到達塑性狀態(tài)，其變形量仍是很小的，與彈性變形量具有相同的數(shù)量級，其應(yīng)變由彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分組成。依留申小彈塑性理論所采用的假設(shè)，與前述廣義胡克定律的幾點結(jié)論十分相似，其基本假設(shè)是：1，體積應(yīng)變是彈性的，并且與平均應(yīng)力成正比；2．應(yīng)力偏張量與應(yīng)變偏張量成正比；3．應(yīng)力主軸與應(yīng)變

7、主軸重合。應(yīng)力英爾圓與應(yīng)變莫爾圓相似；應(yīng)力羅代參數(shù)μ等σ于應(yīng)變羅代參數(shù)μ。在整個加載過程中主方向保持不變；ε4．等效應(yīng)力是等效應(yīng)變的單值函數(shù)，即：σ=φ(ε)（7.2—1）式（7.2—1）實際上就是單一曲線假設(shè)的表達式?？梢园咽剑?.1—11）理解為式（7.2—1）的一個特殊情況，則廣義胡克定律可理解為依留申理論的一個特殊情況，也就是說，全量理論是比彈性理論更具有一般性的理論，這兩者在表達形式上也是很相似的。根據(jù)應(yīng)力偏張量與應(yīng)變偏張量成正比的假設(shè)，類似于式(7.1—6)，可以寫出：'S=2Ge(7.2—2)ijij式中，'為與材料性質(zhì)和塑性變形程度有關(guān)的系數(shù)。寫