馮惠愚--賽題選講

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1、江蘇省數(shù)學(xué)夏令營講座：競賽題選講馮惠愚2012．07．16．竟賽題選講例1．能否存在這樣的多項式P(x)，它至少有一個系數(shù)是負(fù)的，而[P(x)]n，n＞1的系數(shù)都是正的．例2．設(shè)實數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝3，求證：＋＋≤．例3．實數(shù)a，b，c和正數(shù)λ使得f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三個實根x1，x2，x3，且滿足⑴x2－x1＝λ；⑵x3＞(x1＋x2)．求的最大值．4江蘇省數(shù)學(xué)夏令營講座：競賽題選講馮惠愚2012．07．16．例4．在不超過1020的完全平方數(shù)中，是其從個位向前數(shù)第17位數(shù)為7的數(shù)多．還是從個位向前數(shù)第17位數(shù)為

2、8的數(shù)多？例5．設(shè)X是有限集，n0是給定的正整數(shù)，法則f使X的每一個偶子集E(由偶數(shù)個元素組成的子集)，都對應(yīng)一個實數(shù)f(E)，已知：⑴存在X的一個偶子集D，使f(D)＞n0；⑵對X的任意兩個不交的偶子集A與B，f(A∪B)＝f(A)＋f(B)－n0．求證：存在X的子集P與Q，使(a)P∪Q＝X，P∩Q＝?；(b)對P的任意非空偶子集S，有f(S)＞n0；(c)對Q的任意偶子集T，有f(T)≤n0．例6．給定整數(shù)n(n≥3)，設(shè)A1，A2，…，A2n是集合{1，2，…，n}的兩兩不同的非空子集，記A2n＋1＝A1．求的最大值．4江蘇省數(shù)學(xué)

3、夏令營講座：競賽題選講馮惠愚2012．07．16．例7．n名兒童希望把m塊相同的巧克力分成重量相等的n份．規(guī)定每塊巧克力至多被分成兩塊．⑴如果m＝9，那么怎樣的n，上述要求能實現(xiàn)？⑵更一般地，對怎樣的n與m，上述要求能實現(xiàn)？例8．有100筐水果，每筐中放了一些蘋果與梨子，求證：可以從中找出34筐，使這34筐中的蘋果與梨子的重量都不少于蘋果與梨子總重量的．例9．設(shè)n為正整數(shù)，Aí{1，2，…，n}，A中任兩個數(shù)的最小公倍數(shù)都不超過n，求證：

4、A

5、≤1.9＋5．4江蘇省數(shù)學(xué)夏令營講座：競賽題選講馮惠愚2012．07．16．例10．設(shè)an是下述

6、自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n且每位數(shù)字只能取1、3或4．求證：a2n是完全平方數(shù)．這里，n=1，2，…．例11．P為△ABC內(nèi)一點，AP、BP、CP與△ABC的外接圓O分別交于K、L、M．⊙O的在點C處的切線交AB延長線于點S，若SC＝SP，證明：MK＝ML．例12．如圖，已知?ABC內(nèi)切圓I分別切邊AB，BC于點F，D，直線AD，CF分別交⊙I于另一點H，K．求證：＝3．4