導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用--復(fù)習(xí)課

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1、復(fù)習(xí)課:導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式綜合在一起，解決極值，最值等問(wèn)題．難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用．能力點(diǎn)：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的靈活思維能力．教育點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納能力．自主探究點(diǎn)：例題及變式的解題思路的探尋．易錯(cuò)點(diǎn)：利用求導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，要注意＞0是遞增的充分條件而非必要條件．學(xué)法與教具1．學(xué)法：講授法、討論法．2．教具：多媒體、投影儀．一、【知識(shí)結(jié)構(gòu)】二、【知識(shí)梳理】1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，解決與切線方程有關(guān)的問(wèn)題．2．f′(x)>0在(a，

2、b)上成立是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分條件利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應(yīng)注意f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個(gè)區(qū)間上遞增(或遞減)的充分條件．在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a，b)上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)是____________(或____________)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0．這就是說(shuō)，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在該區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)x0處有f′(x0)＝0，甚至可以在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)處f′(

3、x0)＝0，只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何子區(qū)間，因此在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去，若f′(x)不恒為0，則由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定．3．對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0處有極值的充分條件對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，x＝x0是f(x)的極值點(diǎn)，必須具備①f′(

4、x0)＝0，②在x0兩側(cè)，f′(x)的符號(hào)為異號(hào)．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0處有極值的必要條件，但并不充分【范例導(dǎo)航】例1已知函數(shù)f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x．(1)當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的極值；(2)若f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．【解答】(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．當(dāng)a＝時(shí)，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，∴f(x)在(－∞，－2]內(nèi)單調(diào)遞減，在[－2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有極小值．∴f(－2)＝－12是f(x)

5、的極小值．(2)在(－1，1)上f(x)是增函數(shù)，由此可得在(－1，1)上，f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，∴3ax2＋3ax－1≤0．①令g(x)＝3ax2＋3ax－1(－10時(shí)，若①成立，根據(jù)二次函數(shù)g(x)＝3ax2＋3ax－1(－1

6、即a≥－，∴－≤a<0．綜上所述，f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)時(shí)，a的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍是高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，其根據(jù)是函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增(減)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大(小)于或者等于零恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題解決．(2)在形式上的二次函數(shù)問(wèn)題中，極易忘卻的就是二次項(xiàng)系數(shù)可能等于零的情況，這樣的問(wèn)題在導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性的討論中是經(jīng)常遇到的，值得考生特別注意．變式訓(xùn)練:設(shè)函數(shù)f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R．(1)當(dāng)a＝－時(shí)，討論函數(shù)f(x)的

7、單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)僅在x＝0處有極值，求a的取值范圍；(3)若對(duì)于任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，0]上恒成立，求b的取值范圍．解析　(1)f(x)在和(2，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0)和上是減函數(shù)(2)　(3)(－∞，－4]例2已知函數(shù)f(x)＝x2－alnx在(1，2]是增函數(shù)，g(x)＝x－a在(0，1)為減函數(shù)．(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，方程f(x)＝g(x)＋2有唯一解．【解答】　(1)解　f′(x)＝2x－，依題意f′(x)≥0，x∈(

8、1，2]，即a≤2x2，x∈(1，2]．∵上式恒成立，∴a≤2．①又g′(x)＝1－，依題意g′(x)≤0，x∈(0，1)，即a≥2，x∈(0，1)．∵上式恒成立，∴a≥2．②由①②得a＝2．∴f(x)＝x2－2lnx，g(x)＝x－2．(2)證明　由(1)可知，方程f(x)＝g(x)＋2，即x2－2lnx－x＋2－2＝0．設(shè)h(x)＝x2－2lnx－x＋2