導數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習小節(jié)

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1、第三章導數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習小結(jié)6/15/2021本章知識結(jié)構(gòu)導數(shù)導數(shù)概念導數(shù)運算導數(shù)應(yīng)用函數(shù)的瞬時變化率運動的瞬時速度曲線的切線斜率基本初等函數(shù)求導導數(shù)的四則運算法則簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值、最值曲線的切線變速運動的速度最優(yōu)化問題6/15/2021曲線的切線以曲線的切線為例，在一條曲線C：y=f(x)上取一點P(x0，y0)，點Q(x0+△x，y0+△y)是曲線C上與點P臨近的一點，做割線PQ，當點Q沿曲線C無限地趨近點P時，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把直線PT叫做曲線

2、C的在點P處的切線。一．知識串講6/15/2021此時割線PT斜率的極限就是曲線C在點P處的切線的斜率，用極限運算的表達式來寫出，即k=tanα=6/15/2021（一）導數(shù)的概念：1．導數(shù)的定義：對函數(shù)y=f(x)，在點x=x0處給自變量x以增量△x，函數(shù)y相應(yīng)有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若極限存在，則此極限稱為f(x)在點x=x0處的導數(shù)，記為f’(x0)，或y

3、；6/15/20212．導函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都可導，就說y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導．

4、即對于開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一個確定的x0值，都相對應(yīng)著一個確定的導數(shù)f’(x0)，這樣在開區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做f(x)在(a，b)內(nèi)的導函數(shù)．簡稱導數(shù)．記作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=6/15/20213．導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率為k＝f’(x0)．所以曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為y?y0

5、=f’(x0)·(x－x0)．4．導數(shù)的物理意義：物體作直線運動時，路程s關(guān)于時間t的函數(shù)為：s=s(t)，那么瞬時速度v就是路程s對于時間t的導數(shù)，即v(t)=s’(t).6/15/2021返回6/15/2021導數(shù)的運算法則:法則1:兩個函數(shù)的和(差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差),即:法則2:兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù),即:法則3:兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù),再除以第二個

6、函數(shù)的平方.即:返回6/15/2021當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.設(shè)切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:PQoxyy=f(x)割線切線T返回6/15/20211)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在這個區(qū)間（a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；2)如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在這個區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減。一般地，函數(shù)y＝f（x）在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)定理aby=f(x

7、)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).返回6/15/20212)如果a是f’(x)=0的一個根，并且在a的左側(cè)附近f’(x)<0，在a右側(cè)附近f’(x)>0，那么是f(a)函數(shù)f(x)的一個極小值.函數(shù)的極值1)如果b是f’(x)=0的一個根，并且在b左側(cè)附近f’(x)>0，在b右側(cè)附近f’(x)<0，那么f(b)是函數(shù)f(x)的一個極大值注：導數(shù)等于零的點不一定是極值點．2)在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則它必有最

8、大值和最小值.函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)返回6/15/20216/15/20216/15/20216/15/20216/15/2021（五）函數(shù)的最大值與最小值：1．定義：最值是一個整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)間(或定義域)內(nèi)所有函數(shù)值中最大的值或最小的值，最大數(shù)值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為M，最小值記為m.6/15/20212．存在性：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．3．求最大（

9、?。┲档姆椒ǎ汉瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上最值求法：①求出f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個是最大值，較小的一個是最小值.6/15/20216/15/20216/15/20216/15/2021例．已經(jīng)曲線C：y=x3-x+2和點A(1,2)。求在點A處的切線方程？解：f/(x)=3x2－1，∴k=f/(1)=2∴所求的切線方程為：y－2=2(x－1),即y=2x6/15/202