資源描述：
《高等數(shù)學方明亮63曲面及其方程》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第三節(jié)曲面及其方程第六章（SurfaceandItsEquation）四、二次曲面一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面五、小結(jié)與思考練習7/23/20211一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段AB的垂直平分面.引例:1:顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,2:不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.解:設軌跡上的動點為軌跡方程.（EquationsforaSurface)7/23/20212如果曲面S與方程F(x,y,z)=0有下述關
2、系:(1)曲面S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).定義17/23/20213故所求方程為方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解:設軌跡上動點為即依題意距離為R的軌跡表示上(下)球面.例1求動點到定點7/23/20214解:配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次
3、方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.的曲面.（課本例3）表示怎樣半徑為的球面.球心為例2研究方程7/23/20215定義2一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線.例如:(SurfaceofRevolution)7/23/20216故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當繞z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz面上曲線C:則有則有該點轉(zhuǎn)到建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:7/23/20217求旋轉(zhuǎn)曲面方程時,平面曲線繞某坐標軸旋轉(zhuǎn),則該
4、坐標軸對應的變量不變,而曲線方程中另一變量寫成該變量與第三變量平方和的正負平方根.思考：當曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？7/23/20218的圓錐面方程.（課本例4）解:在yoz面上直線L的方程為繞z軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方例3試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為7/23/20219分別繞x軸和z軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞x軸旋轉(zhuǎn)繞z軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為例4求坐標面xoz上的雙曲線(旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面）(旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面）（習題6-35）7/
5、23/202110三、柱面引例分析方程表示怎樣的坐標也滿足方程解:在xoy面上表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,(Cylinder;CylindricalSurface)的曲面?7/23/202111平行定直線并沿定曲線C移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.?表示拋物柱面,母線平行于z軸;準線為xoy面上的拋物線.z軸的橢圓柱面.?z軸的平面.?表示母線平行于(且z軸在平面上)表
6、示母線平行于C叫做準線,l叫做母線.定義37/23/202112柱面,柱面,平行于x軸;平行于y軸;平行于z軸;準線xoz面上的曲線l3:H(z,x)=0.母線柱面,準線xoy面上的曲線l1:F(x,y)=0.母線準線yoz面上的曲線l2:G(y,z)=0.母線一般地,在三維空間7/23/202113四、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次
7、項系數(shù)不全為0)(QuadricSurface;SurfaceofSecondOrder)7/23/202114橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x或y方向的伸縮變換得到,見書P202)1.橢圓錐面(EllipticCone)7/23/202115(1)范圍：(2)與坐標面的交線：橢圓2.橢球面(Ellipsoid)7/23/202116與的交線為橢圓：(4)當a＝b時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數(shù))7/23/20
8、21173.拋物面(Paraboloid)(1)橢圓拋物面(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當a=b時為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.xyzxyz7/23/202118(1)單葉雙曲面(HyperboloidofOneSheet)橢圓.時,截痕為(實軸平行于x軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:4.雙曲面(Hyperboloid)7/23/202119虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z軸;相交直線:雙曲線:7/23/202120雙曲線橢圓
