第六講函數(shù)及其表示（二）(1)

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1、第六講函數(shù)及其表示(二)1、分段函數(shù)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量兀的不同取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。說明：(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是兒個函數(shù)，只不過兀的取值范圍不同時，對應法則不相同。(2)處理分段函數(shù)問題時，首先要確定自變量X的數(shù)值屬于哪個區(qū)間段，從而選取相應的對應法則；畫分段函數(shù)圖象時，應根據(jù)不同定義域上的不同解析式分別作出。2、映射設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系/,使對于集合A屮的任意一個元素兀，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:A—B為從集合A

2、到集合B的一個映射。象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么A中的元素g對應的〃中的元素b叫做d的象，a叫做b的原象。注：(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象記為o函數(shù)與映射：函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)。3、求函數(shù)解析式的方法①待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)，可用待定系數(shù)法。例1設/(兀)是一次函數(shù),fi/[/(x)]=4x+3,求/(x)o解：設/(兀)=處+b(aH0),貝Ij/T/Wl=af(x)+b=a(ax+b)-}-

3、b=a2x-}-ah+bah+b=3[b=[b=3/(x)=2x4-1或/(x)=-2x+3o②配湊法：已知復合函數(shù)f[g(x)]的表達式，求/⑴的解析式，f[g(x)]的表達式容易配成g(x)的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)/(力的定義域不是原復合函數(shù)的定義域，而是g(x)的值域。例2已知/(x+丄)=，+丄(%>0),求/(兀)的解析式。X%■11919解：tf(x—)=(兀—)"一2,xH—?2,f(x)=x—2(兀n2)。XXX③換元法：己知復合函數(shù)f[g(x)]的解析式時，還可以用換元法求/(兀)的解析式。

4、與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例3已知于(頁+1)=x+2頁，求/(X+1)o解：令t=4x+1,貝ijr>1,x=(r-1)2o?.?/(頁+1)=無+2眉，???/(r)=(r-l)2+2(r-l)=r2-l,r>l；/(x)=x2-(x>l),/./(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x>0)o①代入法：求已知函數(shù)關于某點或者某條直線的對稱函數(shù)吋，一般用代入法。例4己知函數(shù)y=與y=g(兀)的圖象關于點(-2,3)對稱，求g(Q的解析式。解：設M(兀,y)為y=g(兀)上任一點，且_/)為M(兀,y)關

5、于點(-2,3)的對稱點。x'+x—9—=_2=-X-4則2丄，解得：,，y+y二3Iy=6_y、2'???點在y上，/.y=x2+x；{x-=.—x—4把彳z代入得：6—y=(―兀一4)~+(―兀一4)；〔V=6-y整于里得y——X2—lx—6,g(X)—_兀2—7x—6o②構造方程組法：若已知的函數(shù)關系較為抽象簡約，則可以刈變量進行置換，設法構造方程組，通過解方程組求得函數(shù)解析式。例5設/G)滿足廣⑴一2/?(-)二兀求/(x)。解vf(x)-2f(-)=x①顯然20,將兀換成丄，得：/?(-)-2f(x)=丄②XXXX2解

6、①②聯(lián)立的方程組，得：/(%)=--——。33兀③賦值法：當題屮所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。例6已知：/(0)=1,對于任意實數(shù)x、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y^-})恒成立，求/(兀)。解???對于任意實數(shù)兀、y,等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y^l)恒成立，不妨令兀=0,則有/(一刃=/(0)-y(-y+1)=14-y(y-1)=y2-y+l；再令一歹=兀，得函數(shù)解析式為：/(x)=x2+x+lo④遞推法：若題中所

7、給條件含有某種遞進關系，則可以遞推得出系列關系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運算求得函數(shù)解析式。例7設/(%)是定義在N+上的函數(shù)，滿足/(I)=1,對任意的自然數(shù)a、b都有f(a)+/(&)=f(a+/?)-ab,求/(x)。解???+=f(a+b)-ab,a.bEN+,???不妨令a=x,b=l,得：/(x)+/(I)=f(x+1)-x,又/(l)=l,SV(X4-l)-/(X)=X+l①令①式中的x=l,2,???，〃一1得：/(2)-/(1)=2,/(3)-/(2)=3,……,/(n)-/(n-l)=n;將上述各式相加

8、得：/(?)一/(I)=2+3+??F,.??=1+2+3—+?="("+1),./(X)=—%2+—N〃4、求函數(shù)值域(最值)的方法(1)配方法：形如y=ax2+bx+c(a^O)或F(x)=“/(兀)］?+/^(x)+c(aH0)類的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的極值