電磁場與電磁波課件第5章靜態(tài)場的邊值問題

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1、第5章靜態(tài)場的邊值問題靜態(tài)場是指場量不隨時(shí)間變化的場，靜態(tài)場包括：靜電場、恒定電場及恒定磁場。靜電場的場量與時(shí)間無關(guān)，位函數(shù)所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。靜電場的邊值問題：給定邊界條件下，求泊松方程或拉普拉斯方程解的問題。數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。5.1引言靜電場問題1.由場求源：由微分方程求解。若源的分布具有某種對稱性，從而判斷場的

2、分布也具有某種對稱性時(shí)，可用高斯通量定理求解電場或安培環(huán)路定理來求磁場。2.由源求場：分布型問題和邊值型問題。(1)分布型(2)邊值型已知確定區(qū)域中的源分布和其邊界上的位函數(shù)或位函數(shù)的法向?qū)?shù)分布，求解該區(qū)域中位函數(shù)的分布狀況，這類問題稱為邊值型問題或簡稱為邊值問題。邊值問題的分類：邊值問題根據(jù)邊界條件給出的形式不同可分為以下三種類型。第一類邊值問題：給定整個(gè)邊界上的位函數(shù)求區(qū)域中位函數(shù)的分布，這類問題又稱為狄里赫利問題。第二類邊值問題：給定整個(gè)邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)求區(qū)域中位函數(shù)的分布，這類問題又稱為紐曼問題。第

3、三類邊值問題：給定一部分邊界上的位函數(shù)和其余部分邊界上的法向?qū)?shù)，求區(qū)域中位函數(shù)的分布，這類問題混合問題。1.靜電場、恒定電場、恒定磁場的基本方程。4.鏡像法、分離變量法。重點(diǎn)：3.理論依據(jù)：唯一性定理、疊加原理。2.靜態(tài)場的位函數(shù)方程。靜態(tài)場與時(shí)變場最基本的區(qū)別在于靜態(tài)場的電場和磁場是彼此獨(dú)立存在的，即電場只由電荷產(chǎn)生，磁場只由電流產(chǎn)生。沒有變化的磁場，也沒有變化的電場。1、靜電場的基本方程靜電場是靜止電荷或靜止帶電體產(chǎn)生的場，其基本方程為上式表明：靜電場中的旋度為0，即靜電場中的電場不可能由旋渦源產(chǎn)生；電荷是產(chǎn)

4、生電場的通量源。電介質(zhì)的本構(gòu)方程為靜態(tài)場的基本方程2、恒定電場的基本方程恒定電流的形成+ABC-要想在導(dǎo)線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉(zhuǎn)為電能裝置稱為電源。維持恒定電流的電場為恒定電場若一閉合路徑經(jīng)過電源，則：即電場強(qiáng)度的線積分等于電源的電動(dòng)勢若閉合路徑不經(jīng)過電源，則：恒定電場在無電源區(qū)的基本方程的積分形式和微分形式分別為導(dǎo)體中的本構(gòu)方程為3、恒定磁場的基本方程這是恒定磁場的基本方程。從以上方程可知，恒定磁場是一個(gè)旋渦場，電流是這個(gè)旋渦場的源

5、，電流線是閉合的。磁介質(zhì)中的本構(gòu)方程為恒定電流的導(dǎo)體周圍或內(nèi)部不僅存在電場，而且存在磁場，但這個(gè)磁場不隨時(shí)間變化，是恒定磁場。假設(shè)導(dǎo)體中的傳導(dǎo)電流為I，電流密度為,則有靜電場可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示它:1、靜電場的位函數(shù)分布即式中的標(biāo)量函數(shù)稱為電位函數(shù)。所以有對于均勻、線性、各向同性的介質(zhì)，ε為常數(shù),即靜電場的位函數(shù)滿足的方程。靜態(tài)場的位函數(shù)上式即為在有電荷分布的區(qū)域內(nèi)，或者說在有“源”的區(qū)域內(nèi)，靜電場的電位函數(shù)所滿足的方程，我們將這種形式的方程稱為泊松方程。如果場中某處有ρ=0，即在無源區(qū)域，則上式變?yōu)槲覀?/p>

6、將這種形式的方程稱為拉普拉斯方程。它是在不存在電荷的區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)應(yīng)滿足的方程。拉普拉斯算符在不同的坐標(biāo)系中有不同的表達(dá)形式：在直角坐標(biāo)系中在圓柱坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中2、恒定電場的位函數(shù)分布根據(jù)電流連續(xù)性方程及物態(tài)方程并設(shè)電導(dǎo)率為一常數(shù)（對應(yīng)于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)），則有則有在無電源區(qū)域，恒定電場是一個(gè)位場，即有這時(shí)同樣可以引入一個(gè)標(biāo)量位函數(shù)使得這說明，在無電源區(qū)域，恒定電場的位函數(shù)滿足拉普拉斯方程。3、恒定磁場的位函數(shù)分布人為規(guī)定(1)磁場的矢量位函數(shù)這個(gè)規(guī)定被稱為庫侖規(guī)范于是有此式即為矢量磁位的泊松方程。恒定磁場是有

7、旋場，即,但它卻是無散場，即引入一個(gè)矢量磁位后，由于，可得此式即為矢量磁位的拉普拉斯方程。在沒有電流的區(qū)域有在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，恒定磁場的基本方程變?yōu)?2)磁場的標(biāo)量位函數(shù)這樣，在無源區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，因此，象靜電場一樣，我們可以引入一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，即標(biāo)量磁位函數(shù)注意：標(biāo)量磁位的定義只是在無電流源區(qū)才能應(yīng)用。即令以上所導(dǎo)出的三個(gè)靜態(tài)場的基本方程表明：靜態(tài)場可以用位函數(shù)表示，而且位函數(shù)在有源區(qū)域均滿足泊松方程，在無源區(qū)域均滿足拉普拉斯方程。因此，靜態(tài)場的求解問題就變成了如何求解泊松方程和拉普

8、拉斯方程的問題。這兩個(gè)方程是二階偏微分方程，針對具體的電磁問題，不可能完全用數(shù)學(xué)方法求解。在介紹具體的求解方法之前，我們要先介紹幾個(gè)重要的基本原理，這些原理將成為以后求解方程的理論依據(jù)。5.2.1唯一性定理在求解靜態(tài)場問題時(shí),我們希望其解是唯一的,那么,在什么條件下,其解才是唯一?三類邊值條件:，給定邊界上的位函數(shù),即已知S為邊界上的點(diǎn)。給定邊界上的位函數(shù)的