也談構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

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1、學(xué)科數(shù)學(xué)序號69談構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用摘要：“構(gòu)造法”作為一種重要的化歸手段，在數(shù)學(xué)解題屮有著重要的作用。木文從“構(gòu)造函數(shù)”、“構(gòu)造方程”等常見構(gòu)造及“構(gòu)造模型”、“構(gòu)造情境”等特殊構(gòu)造出發(fā)，例談構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)川。關(guān)鍵詞：構(gòu)造數(shù)學(xué)解題歷史上有不少著名的數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日等人，都曾經(jīng)用“構(gòu)造法”成功地解決過數(shù)學(xué)上的難題。數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的藝術(shù)，蘊(yùn)含著豐富的美，而靈活、巧妙的構(gòu)造令人拍手叫絕，能為數(shù)學(xué)問題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價(jià)值。近兒年來,構(gòu)造法極其應(yīng)川乂逐漸為數(shù)學(xué)教育界所重視，在數(shù)學(xué)競賽屮有著一定的地位。構(gòu)造需要以足夠的知識經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，較強(qiáng)的觀察能力

2、、綜合運(yùn)川能力和創(chuàng)造能力為前捉,根據(jù)題目的特征，對問題進(jìn)行深入分析，找出“己知”與“所求（所證）”之間的聯(lián)系紐帶,使解題另辟蹊徑、水到渠成?！皹?gòu)造法”作為一種重耍的化歸手段，在數(shù)學(xué)中有著極為重耍的作用，現(xiàn)舉例談?wù)勂湓跀?shù)學(xué)解題屮的運(yùn)川。一、構(gòu)造函數(shù)理解和掌握函數(shù)的思想方法有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的這個(gè)認(rèn)識上的E躍。很多數(shù)學(xué)命題繁兀復(fù)雜，難尋入口，若巧妙運(yùn)用函數(shù)思想，能使解答別具一格，耐人尋味。［例1］（柯西不等式）設(shè)?b（i=l,2,…,n）均為實(shí)數(shù)，證明:2n證:構(gòu)造二次函數(shù)f(x)=/=

3、兀2［例2］已知x,y,zW(0,1),求證:x(1-y)+y(1-z)+z(l-x)

4、屆俄羅斯數(shù)學(xué)競賽題)分析：此題條件、結(jié)論均具有一定的對稱性，然而難以直接證明，不妨用構(gòu)造法一試。證：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1)???y,zw(0,l),f(0)=yz-y-z+l=(y-l)(z-l)>0f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+l)=yz>0而f(x)是一次函數(shù)，其圖象是直線，???由x￡(0,l)恒有f(x)>0即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)>0整理可得x(l-y)+y(l-z)+z(l-x)<1二、構(gòu)造方程方程是解數(shù)學(xué)題的一個(gè)重要工具，許多數(shù)學(xué)問題，根據(jù)其數(shù)量關(guān)系，在已知和未知之間搭上橋梁，構(gòu)造出方程，使解答簡潔、合理。［例3］已

5、知a,b,c為互不相等的實(shí)數(shù)，試證：beacab(a-b)(a-c)+(b-a)(b-c)+(c-a)(c-b)-)證：構(gòu)造方程(x-b)(x?c)(x?a)(x?c)(x-a)(x-b)_(a?b)(a?c)+(b-a)(b?c)+(—認(rèn)_仍顯然a,b,c為方程的三個(gè)互不相等的實(shí)根。而對任意實(shí)數(shù)x均滿足(2)式。特別地，令x=0,即得(1)式。［例4］設(shè)x,y為實(shí)數(shù),且滿足關(guān)系式:r(x-1)3+1997(x-1)=-1I(y-l)3+1997(y-l)=l則x+y二.(1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)分析：此題用常規(guī)方法，分別求出x和y的值后再求x+y則既繁又難，三次方程畢竟不熟悉。若將

6、兩方程聯(lián)立構(gòu)造出方程(x-l)3+1997(x-l)=(I-y)3+1997(l-y)=l,利用函數(shù)f(t)=t3+1997t的單調(diào)性，易得x-l=l-y,自然、簡潔。三、構(gòu)造復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的延伸，一些難以解決的實(shí)數(shù)問題通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題，雖然數(shù)的結(jié)構(gòu)會(huì)變復(fù)雜，但常使問題簡明化，正所謂“退一步海闊一空”。［例5］若a,b,x,yG｛正實(shí)數(shù)｝，且x'+yJl,求證：y)a2x~+b2y~+^a2y2+b2x2=>a+bill::設(shè)Zi=ax+byi,Z2=bx+ayi,貝Ua2x2+b2y2+^/a2y2+b2x2=IZi

7、+

8、Z2IMlZ1+Z2I=

9、(a+b)x+(a+b)yi

10、=(a

11、+b)J兀2+y2二a+b不等式得證：以、構(gòu)造代數(shù)式代數(shù)式是數(shù)7的重要組成要索z—,有許多性質(zhì)值得我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和應(yīng)用?！纠?】證明：對于同樣的整數(shù)x和y,表達(dá)式2x+3y和9x+5y能同時(shí)被17整除。(首屆IMO試題)分析：構(gòu)造代數(shù)式9(2x+3y)?2(9x+5y),其值等于17y,能被17整除，結(jié)合2與9均與17互素，結(jié)論易證。五、構(gòu)造數(shù)列倘若構(gòu)造數(shù)列相當(dāng)多的數(shù)學(xué)問題，尤其是證明不等式，嘗試一下“構(gòu)造數(shù)列”能產(chǎn)牛意想不到的效果。<1(1【例7】證明:1+-

12、等式沁斗如■鼻n+1n+^x,x2...xn+I,頓使命題明朗化。六、構(gòu)造兒何圖形?般來講，代數(shù)問題較為抽象,若能通過構(gòu)造將之合理轉(zhuǎn)化為兒何問題，利川“數(shù)形結(jié)合”這一重要思想方法，往往可增強(qiáng)問題的直觀性，使解答事半功倍或獨(dú)具匠心?！纠?】(見【例2】)證：構(gòu)造邊長為1的正AABC,D,E,F為邊上三點(diǎn),并設(shè)BD=x,CE=y,AF=z,如圖1顯然有Sabde+Sacef+Saadf<——4即￥x(l-y)+『