初等變換與初等方陣

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1、1.5初等變換與初等方陣定義(初等變換)矩陣的3種初等行(列)變換：定義(矩陣等價(jià))等價(jià)矩陣的簡(jiǎn)單性質(zhì)：自反性：對(duì)稱性：傳遞性階梯形矩陣：非階梯型矩陣：行階梯形矩陣的特點(diǎn)(1)若有零行,則零行全部在矩陣的下方.(2)從第一行起,每行第一個(gè)非0元素前面的零的個(gè)數(shù)逐行增加.簡(jiǎn)化行階梯型矩陣(行最簡(jiǎn)形)：行最簡(jiǎn)形的特點(diǎn)(1)具有行階梯形的特點(diǎn).(2)非0行的第一個(gè)元素為1,且該“1”所在的列的其余元素全為0.矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形的特點(diǎn)左上角是一個(gè)r階單位陣,其余元素都為零.定理3任一非零矩陣A,都可以通過(guò)有限次初等行變換把它化為階梯型矩

2、陣?yán)贸醯刃凶儞Q把矩陣化為階梯型矩陣解定義對(duì)單位矩陣施以一次初等行(列)變換后所得到的矩陣稱為相應(yīng)的行(列)初等矩陣。初等行矩陣分別記為：初等列矩陣分別記為：第i行第j行第i列第j列第i行第i列第i行第j行第i列第j列定理4(初等變換與初等方陣的關(guān)系)例如例如定理5初等矩陣都是可逆矩陣，且其逆陣也為同型的初等矩陣，且有：定理6非退化矩陣經(jīng)過(guò)初等變換后仍為非退化矩陣，而退化矩陣經(jīng)過(guò)初等變換后仍為退化矩陣。定理7對(duì)任一非零矩陣A,必可經(jīng)過(guò)有限次初等變換之后都可化為標(biāo)準(zhǔn)形定理8證任一可逆方陣A必可通過(guò)若干次初等行變換化成同階單位矩陣I.例定

3、理9證：由定理8以及初等行矩陣與初等列矩陣之間的關(guān)系即可得證。求逆矩陣的初等變換法：由定理9知有初等方陣?yán)舛ɡ?0例解：由定理9知若方陣A逆，可通過(guò)矩陣的初等變換來(lái)求形如AX=B的矩陣的方程的解X或初等列變換來(lái)求形如XA=B的矩陣的方程的解X.例解：由AX=A+2X，得(A-2I)X=A