探討圓錐曲線的定值、最值與定點(diǎn)問題

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1、探討圓錐曲線的定值、最值與定點(diǎn)問題圓錐曲線中的最值與定值問題，是解析幾何中的綜合問題，是一種典型題型，將函數(shù)與解析融為一體，要求有較強(qiáng)的綜合能力，例析如下。一、定值問題解決定值問題的方法：將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無關(guān)。例1A、B是拋物線（p＞0）上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：（1）A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別都是定值；（2）直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)。證明：（1）設(shè)A（）、B（），則，?！?，∴為定值，也為定值。（2）∵，∵，∴∴直線AB的方程為：，∴直線AB過定點(diǎn)（2p，0）。例2已知拋物線方程為，點(diǎn)A、B

2、及點(diǎn)P(2，4)都在拋物線上，直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)。（1）試證明直線AB的斜率為定值；（2）當(dāng)直線AB的縱截距為m（m＞0）時(shí)，求△PAB的面積的最大值。分析：這類問題一般運(yùn)算量大，要注意函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的靈活運(yùn)用。解析：（1）證明：把P(2，4)代入，得h=6。所以拋物線方程為：y－4=k(x－2)，由，消去y，得。所以，因?yàn)镻A和PB的傾角互補(bǔ)，所以，用－k代k，得，所以=。（2）設(shè)AB的方程為y=2x+m(m＞0)，由，消去y得：，令△=16－4(2m－12)＞0，解得0＜m＜8，，點(diǎn)P到AB的距離d=，所以，

3、=，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故△PAB面積最大值為。一、最值問題解決最值的方法：一是代數(shù)法，建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，注意到自變量的范圍；二是幾何法，考慮某些量的幾何特征及意義，利用圖形性質(zhì)求解。例3求橢圓上的點(diǎn)P到直線L：x－2y－12=0的最大距離和最小距離。方法1：（求切點(diǎn)）設(shè)與L平行的直線與橢圓相切于點(diǎn)P(x，y)，由橢圓方程得此切線方程，∵，∴，即（1），又（2），解(1)(2)得切點(diǎn)的坐標(biāo)為P（－2，3）P（2，－3）。設(shè)點(diǎn)P到直線L的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，。方法2：（判別式法）設(shè)與L平行的橢圓的切線

4、方程為x－2y+m=0，代入橢圓方程，消去x得，由△=得，。當(dāng)m=8時(shí)，切線方程x－2y+8=0，此時(shí)，切點(diǎn)為P（－2，3）；當(dāng)m=－8時(shí)，切線方程x－2y－8=0，此時(shí)，切點(diǎn)為P（2，－3）設(shè)點(diǎn)P到直線L的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，。方法3：（參數(shù)法）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(4cosθ，sinθ)，它到直線L的距離為，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。BxyACO圖1·點(diǎn)評：方法1、方法2可以求出橢圓上的最遠(yuǎn)點(diǎn)和最近點(diǎn)的坐標(biāo)，方法3利用橢圓的參數(shù)方程，建立目標(biāo)函數(shù)，簡潔明了，但求切點(diǎn)的坐標(biāo)較復(fù)雜。例4已知定點(diǎn)A(0，3)點(diǎn)B、C分別在橢圓的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

5、∠BAC=90°時(shí)，求△ABC面積的最大值。解：橢圓的兩條準(zhǔn)線方程分別為：y=1或y=－1。點(diǎn)B在直線y=1上且設(shè)B（a，1），點(diǎn)C在直線y=－1上且設(shè)C（b，－1），由于∠BAC=90°，A(0，3)，所以，·=，ab=－8。==，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)△ABC面積的值最大為8。三、定點(diǎn)問題處理這類問題有兩種方法：一是從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無關(guān)；二是直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)。CxyOFBA圖2例5（2001年全國高考）設(shè)拋物線（p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，

6、且BC∥x軸，證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。方法1：設(shè)直線方程為，A，B，C，∴，，∴，，，又∵，∴，即k也是直線OA的斜率，所以AC經(jīng)過原點(diǎn)O。當(dāng)k不存在時(shí)，AB⊥x軸，同理可證。xyFBACDO圖3NE方法2：如圖2過A作AD⊥l，D為垂足，則：AD∥EF∥BC連結(jié)AC與EF相交于點(diǎn)N，則，，由拋物線的定義知：

7、AF

8、=

9、AD

10、，

11、BF

12、=

13、BC

14、，∴.點(diǎn)評：該題的解答既可采用常規(guī)的坐標(biāo)法，借助代數(shù)推理進(jìn)行，又可采用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，借助平面幾何的方法進(jìn)行推理。解題思路寬，而且?guī)缀畏椒ā≥^之解析法比較快捷便當(dāng)，從審題與思維深度上看，幾何法的采用，

15、源于思維的深刻性。