指數(shù)分布的無記憶型

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1、從開始講分布到這一期，差不多常用的那幾個分布都點到了，想起來還有一個蠻重要的分布就是指數(shù)分布（我們也常常把它稱作壽命分布）沒提到。作為連續(xù)場合分布大軍里的一員，自然是不能漏了他的，這一期，主角是指數(shù)分布，配角是泊松過程，路人甲——幾何分布。在概率論和統(tǒng)計學中，指數(shù)分布是一種連續(xù)概率分布。指數(shù)分布可以用來表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時間間隔等等。許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布。有的系統(tǒng)的壽命分布也可用指數(shù)分布來近似。它在可靠性研究中是最常用的一種分布形式。指數(shù)分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況（可以看作當威布爾分布中的形狀系數(shù)等于1

2、的特殊分布），產(chǎn)品的失效是偶然失效時，其壽命服從指數(shù)分布，它的失效率是與時間t無關的常數(shù)，所以分布函數(shù)簡單。若隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則記為.一個指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是：其中λ>0是分布的一個參數(shù)，常被稱為率參數(shù)（rateparameter）。即每單位時間發(fā)生該事件的次數(shù)。指數(shù)分布的區(qū)間是[0,∞)。累積分布函數(shù)可以寫成：可以看到λ的值越大，曲線的斜率變化越快。指數(shù)分布具有很好的性質(zhì)，比如：隨機變量X(X的率參數(shù)是λ）的期望值是：1/λ；方差是（1/λ2）。想起那個配角泊松過程了么？它和這個配角有什么關系？泊松過程是一種重要的隨機過程。泊松過程中，第k次隨機事件與第k+1次隨機事件出現(xiàn)

3、的時間間隔服從指數(shù)分布。這是因為，第k次隨機事件之后長度為t的時間段內(nèi)，第k+1次隨機事件出現(xiàn)的概率等于1減去這個時間段內(nèi)沒有隨機事件出現(xiàn)的概率。而根據(jù)泊松過程的定義，長度為t的時間段內(nèi)沒有隨機事件出現(xiàn)的概率等于所以第k次隨機事件之后長度為t的時間段內(nèi)，第k+1次隨機事件出現(xiàn)的概率等于，這是指數(shù)分布。這還表明了泊松過程的無記憶性。無記憶性——該怎么理解呢？樓主在網(wǎng)上看到一個網(wǎng)友的思考，覺得挺有意思的——一個身患了艾滋病的病人時時刻刻都受著死亡的威脅，隨時都有死亡的可能性。但是在他患病以后至少活時間k的概率與他活了時間n后再活時間k的概率是完全一致的。而且正如離散事件——投籃次數(shù)不會由于前n次投

4、不中就會增加或減少后面投籃的命中率一樣，此時也不會因為病人活了時間n還沒死就會影響到他再繼續(xù)活下去的可能性大小。故而，不難說出指數(shù)分布是“永遠年輕”的。人生中，很多時候我們總是對過去的失敗耿耿于懷。這種經(jīng)歷使我們不敢面對現(xiàn)實，如果我們能從指數(shù)分布受到啟發(fā)，運用“無記憶性”原則，那么我們的今天和明天將會更加美好。因為即使我們?nèi)松械腟小時已經(jīng)失敗，但我們面前的成功仍然還有S+T，和我們S小時前的成功幾率一樣。一句話總結(jié)：泊松分布是單位時間內(nèi)獨立事件發(fā)生次數(shù)的概率分布，指數(shù)分布是獨立事件的時間間隔的概率分布。請注意是"獨立事件"，泊松分布和指數(shù)分布的前提是，事件之間不能有關聯(lián)，否則就不能運用上面的

5、公式。