古典概型與幾何概型)

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1、1.3古典概型與幾何概型1.3.1排列與組合公式1.排列從n個不同元素中任取r個元素排成一列（考慮元素先后出現(xiàn)次序），稱此為一個排列，此種排列的總數(shù)為若r=n，則稱為全排列,全排列的總數(shù)為An=n!．第1章概率論基礎(chǔ)2.重復(fù)排列從n個不同元素中每次取出一個，放回后再取出下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列，此種重復(fù)排列數(shù)共有nr個，這里r允許大于n．1.3.1排列與組合公式3.組合從n個不同元素中任取r個元素并成一組（不考慮元素先后出現(xiàn)次序），稱為一個組合，此種組合的總數(shù)為易知，．排列組合公式在古典概型的概率計算中經(jīng)常使用．1.3.1排列與組合公式1.3.2古典

2、概型具有以下兩個特點的試驗稱為古典概型：(1)有限性：試驗的樣本空間只含有限個樣本點；(2)等可能性：試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同．對于古典概型，若樣本空間中共有n個樣本點，事件A包含k個樣本點，則事件A的概率為容易驗證，由上式確定的概率滿足公理化定義．1.3古典概型與幾何概型【例1.5】（摸球問題）箱中盛有?個白球和?個黑球，從其中任意地接連取出k+1個球(k+1??+?)，如果每個球被取出后不再放回，試求最后取出的球是白球的概率．1.3.2古典概型解：由于注意了球的次序，故應(yīng)考慮排列．接連不放回地取k+1個球的所有結(jié)果共有個，即樣本空間中共有個樣本點．最后取出

3、的白球可以是?個白球中的任一個，共有?種取法，其余k個可以是其余?+?–1個的任意k個，共有種取法，因而事件A=“取出的k+1球中最后一個是白球”中共含有個樣本點，于是．與k無關(guān)！1.3.2古典概型【例1.6】（分房問題）有n個人，每個人都以同樣的概率被分配在N（n?N）間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：(1)A=“某指定n間房中各有一人”；(2)B=“恰有n間房，其中各有一人”；(3)C=“某指定房中恰有m(m?n)人”．1.3.2古典概型解：因為每個人都可以分配到N間房中任一間，所以n個人分配房間的方式共有Nn種，即樣本空間中所有樣本點的個數(shù)為Nn．(1)A=

4、“某指定n間房中各有一人”，“某指定n間房中各有一人”的分配方法共有n!種，因而事件A中含有n!個樣本點，于是1.3.2古典概型(2)B=“恰有n間房，其中各有一人”這n間房可自N間中任意選出，共有　　種選法，因而事件B中含有個樣本點，于是1.3.2古典概型(3)C=“某指定房中恰有m(m?n)人”事件C中的m個人可自n個人中任意選出,共有　　種選法，其余n–m個人可以任意分配在其余N–1間房里，共有　個分配法，因而事件C中有個樣本點，于是1.3.2古典概型1.3.3幾何概型具有以下兩個特點的試驗稱為幾何概型：(1)隨機試驗的樣本空間為某可度量的區(qū)域?；(2)?中任一區(qū)

5、域出現(xiàn)的可能性的大小與該區(qū)域的幾何度量成正比而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān)．1.3古典概型與幾何概型對于幾何概型，若事件A是?中的某一區(qū)域，且A可以度量，則事件A的概率為其中，如果?是一維、二維或三維的區(qū)域，則?的幾何度量分別是長度、面積和體積．1.3.3幾何概型【例1.8】（約會問題）甲乙兩人約定在下午6點到7點之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人20分鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率．1.3.3幾何概型解：以x和y分別表示甲乙兩人到達(dá)約會地點的時間（以分鐘為單位），在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，因為甲乙都是在0到60分鐘內(nèi)等可能到達(dá)，所以這是一個幾何概型問題．樣

6、本空間?={(x，y)：0?x，y?60}事件A=“甲乙將會面”={(x，y)??：

7、x–y

8、?20}因此1.3.3幾何概型【例1.9】（蒲豐投針問題）平面上畫有間隔為d(d>0)的等距平行線，向平面任意投擲一枚長為l(l

9、　可作為P(A)的近似值帶入上式，那么利用上式可以計算圓周率?的近似值．1.3.3幾何概型?課堂思考某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解一周內(nèi)接待12次來訪共有12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為實際應(yīng)用中，認(rèn)為小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時間是有規(guī)定的.興趣拓展生日問題(1)n個人生日各不相同的概率(n≤365).解答