淺談數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的運(yùn)用

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1、淺談“數(shù)形結(jié)合”在函數(shù)中的運(yùn)用泰興市揚(yáng)子江高級(jí)中學(xué)袁小武“數(shù)形結(jié)合”思想是中學(xué)教學(xué)的主線之一，它涉及集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、線性規(guī)劃、向量、復(fù)數(shù)、解析兒何、立體兒何等多方面的知識(shí)?數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是以形助數(shù)，幫助分析某些抽象的問題，起到事半功倍的效果；二是借助于準(zhǔn)確的數(shù)來研究圖形的某些性質(zhì)(主要在解析幾何、立體幾何中運(yùn)用).縱觀近幾年的高考看，數(shù)形結(jié)合重點(diǎn)是研究以形助數(shù)，本文主要探討用形解決函數(shù)的相關(guān)問題.一、數(shù)形結(jié)合思想解決分段函數(shù)問題例1用min{a,Z?,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值設(shè)/(x)=min(2r,x+2,10-x},則/

2、W的最大值為6?解析：由圖象可知：幾兀)在A處取得最大值,解方程組("：+2得皿4,6)[y=10-x???函數(shù)兀力的最大值為6.變式1用max{a,b}表示°,方三個(gè)數(shù)中的最大值設(shè)f(x)=max{

3、x+l

4、,

5、x-2

6、},則/(%)的最小值為1?5?變式2己知函數(shù)/(x)=—(sinx4-cosx)-—

7、sinx-cosx,則函數(shù).f(x)的值域是.2?二、數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)的個(gè)數(shù)問題這類問題的求解必須熟練掌握各類基本函數(shù)的圖象以及函數(shù)圖象的變換，如:平移變換、對(duì)稱變換、翻折變換等.例2[1知函數(shù)/(%)=]2

8、

9、，xh2.關(guān)于*的方程嚴(yán)⑴+防

10、'(x)+c=o有7個(gè)29x=2實(shí)數(shù)根，則he的值分別為-2；0.解析：利用函數(shù)的圖象變換作出函數(shù)〉心/(兀)的圖象由圖象可知：方程fM=k的根的情況如下當(dāng)￡<0時(shí)，方程無實(shí)根；當(dāng)￡=0時(shí)，方程有2個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)0vk<2吋，方程有4個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)"2時(shí)，方程有5個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)R>2W,方程有4個(gè)不同的實(shí)根.?I關(guān)于兀的方程/2(x)+Z?/(x)+c=0有7個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足/(x)=0^n/(x)=2.此時(shí)，，b——2,c=0.變式設(shè)Q為常數(shù)，試討論方程lg(x-l)+lg(3-x)=lg(a-x)的實(shí)根的個(gè)數(shù).x—1>0解析：原方程等價(jià)丁「3-x>0即°=-

11、兀2+5兀-3(1v兀<3)(x_1)(3—x)—ct—x413當(dāng)咸IsS3吋，方程有1個(gè)實(shí)根；413當(dāng)3Jr2-x2表示半圓；y=心-1)+2表示過定點(diǎn)(1,2)的?苴線；+表示與直線yr平行的直線；口表示(x,y)與(1,1)兩點(diǎn)連線的斜率.x-1例3若不等式a/9-x2＜Z:(x+2)-V2的解集為區(qū)間[d,b],且b-a=2,則k=^2_?解析：由題意可得：直線y=k(x+2)-近在半圓y=丁9-/之上所對(duì)應(yīng)的xga,bW

12、.b-a=2.由圖象可知：a=l,b=3,此時(shí)直線過點(diǎn)(1,2^2),故k=4i?變式：已知集合A=y^y=^9-x2b={&,二兀+加},且A"B二①，貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是加＞3?或加＜—3?反思:數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法歷年來一宜是高考考察的重點(diǎn)之一.但從目前高考“注重通法，淡化特技”的命題原則來看，對(duì)于數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)將重點(diǎn)置于解析兒何中圖象的兒何意義的重視與挖掘以及函數(shù)圖象的充分利用之上即可.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題屮，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，

13、不僅育觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而冃能避免復(fù)朵的計(jì)算與推理，人人簡(jiǎn)化了解題過程?這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖,見數(shù)想圖，以開拓自C的思維視野.