宏觀的變量與微觀的對(duì)應(yīng)

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1、宏觀的變量與微觀的對(duì)應(yīng)——初、高中兩種函數(shù)定義的比較初中的函數(shù)定義是樸素的、宏觀的，它告訴我們，世界上萬(wàn)物都在運(yùn)動(dòng)著，而且相互關(guān)聯(lián)著。從某個(gè)數(shù)量的變化上看運(yùn)動(dòng)，便成為一個(gè)變量，而變量之間的關(guān)聯(lián)，正是函數(shù)關(guān)系。到了高中，函數(shù)的定義是靜態(tài)的、微觀的。這吋的函數(shù)，著重在一個(gè)集合的每一個(gè)元素到另一個(gè)集合中惟一確定元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。初中的函數(shù)概念比較宏觀，重點(diǎn)是解決兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系。定義屮有自變量、因變量的區(qū)分，顯然是動(dòng)態(tài)的定義。正如恩格斯在評(píng)價(jià)笛卡兒的工作時(shí)說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)。因而微分和積分的運(yùn)算也就立刻成為必要

2、的了”。高中的函數(shù)定義，則開(kāi)始向靜態(tài)轉(zhuǎn)換。函數(shù)作為集合之間映射的特例，歸結(jié)為“一種對(duì)應(yīng)關(guān)系”，自變量、因變量統(tǒng)統(tǒng)不見(jiàn)了。高中函數(shù)的定義，實(shí)際上是一種微觀的考察，對(duì)初中那個(gè)定義進(jìn)行了抽象化，精確化的處理。動(dòng)態(tài)的描述體現(xiàn)一種文化內(nèi)涵，粗略、生動(dòng)、原始的思想，構(gòu)成宏觀的觀念。靜態(tài)的表述，則進(jìn)行形式化和精確化。所以初中、高屮的函數(shù)定義各有其內(nèi)涵，二者互為表里、和得益彰，卻并無(wú)高低Z分。這里可以再次運(yùn)用王國(guó)維的“出入觀”進(jìn)行分析。可以說(shuō)，宏觀的函數(shù)定義相當(dāng)于“出外”觀之，微觀的函數(shù)定義，則是入內(nèi)寫(xiě)之,各有千秋?，F(xiàn)在，有一種貶低初中的動(dòng)態(tài)定義的傾向，以為只有集合對(duì)應(yīng)下的函數(shù)概念是現(xiàn)代的、正確的

3、。這種看法是片面的。打個(gè)比方，《紅樓夢(mèng)》里的林黛玉和薛寶釵，都是活生生的典型人物，無(wú)所謂哪個(gè)好,哪個(gè)壞。各有各的特點(diǎn)，各有各的風(fēng)韻。學(xué)會(huì)兼容并包地欣賞，才能把握函數(shù)概念的精髓。如呆我們要考察函數(shù)的變化趨勢(shì)，那么我們多從宏觀的角度進(jìn)行考察。一次函數(shù)表示直線，二次函數(shù)的圖像是拋物線，三角函數(shù)是周期變化的，指數(shù)函數(shù)則是急劇式的變化，人稱“指數(shù)爆炸”。至于對(duì)數(shù)函數(shù)，則是緩慢上升的例子，比y=x的直線還慢這里，我們無(wú)需”對(duì)應(yīng)"關(guān)系來(lái)幫忙，只需宏觀地觀察數(shù)量的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)就行了.但是，科學(xué)研究除了耍宏觀地考察之外，還要深入地、精細(xì)地觀察每一個(gè)細(xì)節(jié)，微觀地考察事物。止如物理學(xué)既要考察天體的宏觀運(yùn)

4、動(dòng),也要考察原子內(nèi)部的電子結(jié)構(gòu)一樣。高中的函數(shù)概念，更注意每一個(gè)自變量X和因變量y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?以分段函數(shù)為例,我們不僅看它的?般變化趨勢(shì)，還特別關(guān)注端點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，例如取值為1的一段,是否包括左端點(diǎn)或右端點(diǎn)?這就是比較微觀的細(xì)究了.著名的狄利克雷函數(shù)是指:定義在［0,1］上的如下函數(shù)：F（x）=0（x是無(wú)理數(shù)）或1（x是有理數(shù)）這樣的函數(shù)，只靠宏觀描述難以奏效，只有微觀地靜態(tài)描述才顯示出數(shù)學(xué)的精確性.宏觀與微觀，實(shí)際上是人們常常運(yùn)用的視角?管理工廠，既要觀察未來(lái)市場(chǎng)發(fā)展的大局，又要考慮每一道工序的微小細(xì)節(jié)?在藝術(shù)上，既要有宏觀的高超意境，還必須注意具體的細(xì)節(jié)處理?繪畫(huà)上有

5、潑墨畫(huà),講究的是整體的宏觀意境，而工筆畫(huà)則是微細(xì)的筆墨刻畫(huà)，連花鳥(niǎo)上的葉脈和羽毛都畫(huà)得一清二楚.數(shù)學(xué)思想，其實(shí)和人們的思維方法是相通的，只是更加精確、更加理性罷了.《摘自《情真意切話數(shù)學(xué)》張奠宙丁傳宋柴俊等著》