專題講座一范圍與最值問(wèn)題

《專題講座一范圍與最值問(wèn)題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、專題講座一　范圍與最值問(wèn)題,[學(xué)生用書P52～P53])最值、范圍問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)久不衰．最值與范圍問(wèn)題多在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、立體幾何、圓錐曲線中考查．解題的關(guān)鍵是不等關(guān)系的建立，其途徑很多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等．下面介紹一下函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的最值與范圍問(wèn)題．　　　　　　　函數(shù)的最值函數(shù)的最值問(wèn)題是其他最值問(wèn)題的基礎(chǔ)之一，許多最值問(wèn)題最后總是轉(zhuǎn)化為函數(shù)(特別是二次函數(shù))的最值問(wèn)題．求函數(shù)最值的方法有：配方法、均值不等式法、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法、判別式法、有界性、圖象法等．　(1)對(duì)a，b∈R，記

2、max{a，b}＝函數(shù)f(x)＝max{

3、x＋1

4、，

5、x－2

6、}(x∈R)的最小值是________；(2)已知函數(shù)y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，則函數(shù)y的最小值是________．[解析]　(1)由

7、x＋1

8、≥

9、x－2

10、，得(x＋1)2≥(x－2)2，解得x≥.所以f(x)＝其圖象如圖所示．由圖形，易知當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)有最小值，所以f(x)min＝f＝＝.(2)y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，則f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因?yàn)閠≥2，

11、所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定義域?yàn)閇2，＋∞)．因?yàn)閽佄锞€y＝f(t)的對(duì)稱軸為t＝a，所以當(dāng)a≤2且a≠0時(shí)，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；當(dāng)a＞2時(shí)，ymin＝f(a)＝a2－2.又f(t)的定義域?yàn)閇2，＋∞)，故y的最小值是a2－2.[答案]　(1)　(2)a2－2[規(guī)律方法]　第(1)題是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的最值問(wèn)題后，再利用數(shù)形結(jié)合的方法求解函數(shù)最值問(wèn)題，其關(guān)鍵是先畫出圖形，從而借助圖形直觀地解決問(wèn)題．第(2)題首先利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，求解中要特別注意自變

12、量的取值范圍．　　　　　　　實(shí)際問(wèn)題中的最值在數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題中經(jīng)常遇到有關(guān)用料最省、成本最低、利潤(rùn)最大等問(wèn)題，可考慮建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．　(2015·江蘇徐州檢測(cè))現(xiàn)有一張長(zhǎng)為80cm，寬為60cm的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD，準(zhǔn)備用它做成一只無(wú)蓋長(zhǎng)方體鐵皮盒，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失，如圖，若從長(zhǎng)方形ABCD的一個(gè)角上剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側(cè)面，設(shè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為x(cm)，高為y(cm)，體積為V(cm3)．(1)求出x與y的關(guān)系式；(2)求該鐵皮盒體積V的最大值．[解]　

13、(1)由題意得x2＋4xy＝4800，即y＝，0＜x＜60.(2)鐵皮盒體積V(x)＝x2y＝x2·＝－x3＋1200x，V′(x)＝－x2＋1200.令V′(x)＝0，得x＝40，因?yàn)閤∈(0，40)時(shí)，V′(x)＞0，V(x)是增函數(shù)；x∈(40，60)時(shí)，V′(x)＜0，V(x)是減函數(shù)，所以V(x)＝－x3＋1200x在x＝40時(shí)取得極大值，也是最大值，且最大值為32000cm3.所以該鐵皮盒體積V的最大值是32000cm3.[規(guī)律方法]　本題是求幾何體體積的最值，求解思路是構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．　　　　　　　參數(shù)范圍的

14、確定函數(shù)的最值多與參數(shù)范圍結(jié)合命題，求最值時(shí)，多利用分類討論思想，由最值問(wèn)題求參數(shù)可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解．　(2015·陜西西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝(a≠0，a∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，若對(duì)任意x1，x2∈[－3，＋∞)，有f(x1)－f(x2)≤m成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．[解]　f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－3a.(1)當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)，f(x)隨著x的變化如下表：x(－∞，－3a)－3a(－3a，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘函數(shù)f(x)的單

15、調(diào)遞增區(qū)間是(－3a，a)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3a)，(a，＋∞)．當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)，f(x)隨著x的變化如下表：x(－∞，a)a(a，－3a)－3a(－3a，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘極小值↗極大值↘函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(a，－3a)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，a)，(－3a，＋∞)．(2)當(dāng)a＝1時(shí)，由(1)得f(x)是(－3，1)上的增函數(shù)，是(1，＋∞)上的減函數(shù)．又當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝>0，所以f(x)在[－3，＋∞)上的最小值為f(－3)＝－，最大值為f(1)＝.所以對(duì)任意

16、x1，x2∈[－3，＋∞)，f(x1)－f(x2)≤f(1)－f(－3)＝.所以對(duì)任意x1，x2∈[－3，＋∞)，使f(x1)－f(x2