彈性力學-等截面直桿的扭轉(zhuǎn)(例題習題詳解).ppt

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1、第七章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)要點：（1）等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題的基本方程——扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)（2）按應(yīng)力求解扭轉(zhuǎn)問題的方法（3）扭轉(zhuǎn)問題薄膜比擬理論§7-1扭轉(zhuǎn)問題中應(yīng)力和位移§7-2扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬§7-3橢圓截面的扭轉(zhuǎn)§7-4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)§7-5薄壁桿的扭轉(zhuǎn)§7-6扭轉(zhuǎn)問題的差分解主要內(nèi)容§7-1扭轉(zhuǎn)問題中應(yīng)力和位移問題：（1）等截面直桿，截面形狀可以任意；（2）兩端受有大小相等轉(zhuǎn)向相反的扭矩M；求：桿件內(nèi)的應(yīng)力與位移？1.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)求解方法：按應(yīng)力求解；半逆解法——由材料力學中某些結(jié)果出發(fā)，求解。

2、（3）兩端無約束，為自由扭轉(zhuǎn)，不計體力；材料力學結(jié)果：（1）（∵自由扭轉(zhuǎn)）（2）側(cè)表面：（7-1）扭轉(zhuǎn)問題的未知量：——為三向應(yīng)力狀態(tài)，且不是軸對稱問題。扭轉(zhuǎn)問題的基本方程平衡方程：（8-1）將式（7-1）代入，得：（a）——扭轉(zhuǎn)問題的平衡方程相容方程：相容方程：（9-32）——扭轉(zhuǎn)問題的相容方程（c）邊界條件：（1）側(cè)面：（2）端面：（∵n=0,）（b）（d）（e）（f）（a）（b）——扭轉(zhuǎn)問題的相容方程——平衡方程基本方程的求解由式（a）的前二式，得——二元函數(shù)由式（a）的第三式，得由微分方程

3、理論，可知：一定存在一函數(shù)?（x，y），使得：于是有：（7-2）?（x，y）——扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)也稱普朗特爾(Prandtl)應(yīng)力函數(shù)（7-2）（b）——扭轉(zhuǎn)問題的相容方程將式（7-2）代入相容方程（b），有（7-3）由此可解得：——用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式中：C為常數(shù)。結(jié)論：等直桿的扭轉(zhuǎn)問題歸結(jié)為：按相容方程（7-3）確定應(yīng)力函數(shù)?（x，y），然后按式（7-2）確定應(yīng)力分量，并使其滿足邊界條件。定解條件——邊界條件（1）側(cè)表面：（8-5）0000000000將?、l、m代入上述邊界條件，有（7-2

4、）又由式（7-2），應(yīng)力函數(shù)?差一常數(shù)不影響應(yīng)力分量的大小，表明：在桿件的側(cè)面上（橫截面的邊界上），應(yīng)力函數(shù)?應(yīng)取常數(shù)。（7-4）——扭轉(zhuǎn)問題的定解條件之一。對于多連體（空心桿）問題，?在每一邊界上均為常數(shù)，但各個常數(shù)一般不相等，因此，只能將其中的一個邊界上取?s=0，而其余邊界上則取不同的常數(shù)，如：于是對單連體（實心桿）可?。篊i的值由位移單值條件確定。（2）上端面：（8-5）00000000由圣維南原理轉(zhuǎn)化為：（c）（d）（e）（c）（d）（e）對式（c），應(yīng)有同理，對式（d），應(yīng)有對式（e）

5、：分部積分，得：同理，得：將其代入式（e）：得到：（7-5）結(jié)論：等直桿的扭轉(zhuǎn)問題歸結(jié)為解下列方程：（7-3）泛定方程：定解條件：（7-4）（7-5）應(yīng)力分量：（7-2）2.扭轉(zhuǎn)的位移與變形由物理方程，得：再幾何方程方程代入，有（f）積分前三式，有代入后三式，有又由：得：從中求得：代入f1、f2和u、v得：其中：u0、v0、?x、?y、?z和以前相同，代表剛體位移。若不計剛體位移，只保留與變形有關(guān)的位移，則有（7-6）將其極坐標表示：由將式（7-6）代入，有：由此可見：對每個橫截面（z=常數(shù)）它在

6、xy面上的投影形狀不變，而只是轉(zhuǎn)動一個角度?=Kz。K——單位長度桿件的扭轉(zhuǎn)角。（7-6）將其代入：有：將兩式相減，得：（7-7）（7-8）將其對照式（7-3）：（7-3）可見：（7-9）實際問題中，K可通過實驗測得。T§7-2扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬1.薄膜比擬概念比擬的概念：如果兩個物理現(xiàn)象，具有以下相似點：（1）泛定方程；（2）定解條件；則可舍去其物理量本身的物理意義，互相求解確定。扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬：——由普朗特爾（Prandtl.,L.）提出薄膜在均勻壓力下的垂度z，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)

7、力函數(shù)?，在數(shù)學上相似（泛定方程相似、定解條件相似）。z因此，可用求薄膜垂度z的方法來解等截面桿扭轉(zhuǎn)問題。這種方法，扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬方法?！獮榕まD(zhuǎn)問題提供了一種實驗方法2.薄膜比擬方法zT設(shè)一均勻薄膜，張在水平邊界上，水平邊界與某受扭桿件截面的邊界具有相同的形狀和大小，薄膜在微小的均勻壓力下，各點發(fā)生微小的垂度z。有關(guān)薄膜假定：不能受彎矩、扭矩、剪力作用，只能受張力T（單位寬度的拉力）作用。2.薄膜比擬方法方法說明：取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如圖，ab邊上拉力：ab邊上拉力在z

8、軸上投影：cd邊上拉力：cd邊上拉力在z軸上投影：ad邊上拉力：ab邊上拉力在z軸上投影：bc邊上拉力：bc邊上拉力在z軸上投影：zT在z方向上外力：兩邊同除以dxdy，整理得：或：（7-7）邊界條件：（7-11）對于均布壓力，有：式（7-7）和（7-11）變?yōu)椋海╝）zT（a）另一方面，扭轉(zhuǎn)問題有：（7-8）（7-4）將式（7-8）、（7-4）改寫為：（b）比較式（a）、（b）可見：當薄膜與扭桿橫截面具有相同的邊界時，變量：與決定于同樣的微分方程與邊界條件，因而，兩者應(yīng)有相同的解