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1、第六章等直桿的自由扭轉§6-1自由扭轉與約束扭轉§6-2等直桿自由扭轉時的應力和位移§6-3矩形截面桿的自由扭轉§6-4小撓度薄膜比擬法§6-5開口薄壁截面桿的自由扭轉§6-6閉口薄壁截面桿的自由扭轉§6-1自由扭轉與約束扭轉v翹曲變形：矩形截面稈在扭轉過程中其橫截面不再保持為平面．而發(fā)生了翹曲。在桿件同一橫截面曲周邊上各處的剪應變是變化的。橫截面發(fā)生翹曲以及同一橫截面周邊上各處剪應變不同，正是所有非圓截而桿受扭時區(qū)別于圓截面桿的變形特征。v如圖6—2a所示等直桿僅在其兩端施加扭轉力偶且兩個端部沒有翹曲變形的任何外加
2、限制，那么可認為每個橫截面都發(fā)生相同的翹曲變形。只有在這種情況下桿件橫截面的翹曲才是自由的，在小變形的條件下它不致引起縱向纖維的伸長或縮短，從而橫截面上也就不產(chǎn)生正應力。這類扭轉問題稱為自由扭轉。v非圓截面等直桿如圖6—2b所示的受力情況下，由于對稱的緣故，其中央的橫截面不可能發(fā)生翹曲，而兩個端截面卻可以自由變形，因此各橫截面的翹曲必然受到制約，從而導致橫截面上產(chǎn)生正應力。非圓截面桿在圖6—2c所示的受力情況下，橫截面的翹曲同樣也受到相互約束。v約束扭轉：當非圓截面桿受扭時，如果橫截面的翹曲變形由于受到荷載情況、外加
3、約束條件及至橫截面尺寸的變化（即變截面桿）而發(fā)生相互約束的話，其橫截面上必然產(chǎn)生正應力，這類扭轉為約束扭轉。v在實體桿中約束扭轉時產(chǎn)生的正應力是不大的，可以略去；然而對于開口或閉口薄壁桿件卻是很重要的。§6-2等直桿自由扭轉時的應力和位移v設有一任意形狀的實體截面等直桿，其兩端受扭轉力偶的作用，如圖6—3所示。假定桿的左端不能轉動，但可以自由翹曲，限制其整體析的剛性位移。當桿受扭矩時，桿件的橫截面將繞桿軸z旋轉一定的角度，任一距左端為z的橫截面所旋轉的角度記為Θ(z)。自由扭轉時，相距單位長度的任何兩個橫截面其相對扭
4、角相等，所以Θ(z)=θ?z（a）v任意橫截面上任一點P(x,y)在該平面內(nèi)的位移分量(u,v)可寫作u(x,y,z)?????(z)sin????yz??v(x,y,z)????(z)cos???xz?w(x,y,z)????(x,y)單位扭轉角翹曲位移函數(shù)?????????0?xyzxy?幾????何???方?????(?x)?yz程?y?z?y????u????????(?y)?yz?x?y?x??????????0?xyzxy?物???理??G??G?(?x)?方y(tǒng)zyz程?y??????G??G?(?y)?
5、zxzx?x????????2??2?zxyzz???G?(?)?022?x?y?z?x?y平衡方程的結果22????2??0,即???022?x?y則:?(x,y)必需是調(diào)和函數(shù)v用位移函數(shù)表示的桿件側表面上邊界條件的表達式為?l??m?0zxyz??dy??dx(?y)?(?x)?06?5?xds?ydsv為簡化用翹曲函數(shù)表達的如上邊界條件，引入扭轉應力函數(shù)。??????,???6?6yzzx?x?y這樣假設是為了滿足平衡方程圖示邊界的l,m與dx,dy,ds的關系桿件端部的邊界條件v由(6-6)，(6-3)中的
6、后兩式，有??????G?(?x)??x?y??6?7??????G?(?y)??y?x??22????2??2G?,即???2G?6?822?x?y等直桿自由扭轉時的應力函數(shù)必須滿足的條件v應力函數(shù)應該滿足的邊界條件?(x,y)
7、?k,(6?9)常取0，周邊sM??2?dA（6－10）端部的條件t?A選出同時滿足6－8，6－9，6－10的應力函數(shù)v對于橢圓形截面等直桿的自由扭轉問題（圖6-7,a），可選如下形式的應力函數(shù)22xy??C(??1)22abv當C為常量時，此函數(shù)恒能滿足側表面的邊界條件（6-9），將其代
8、入（6-8）,求得22abC?G?22a?bM??2?dAt?A222ab1212??G?(xdA?ydA?dA)a2?b2a2?Ab2?A?A2G?2222??(bI?aI?abA)22yxa?b?3I?ab33x?ab4?G?22a?b?3I?abya2?b24或：G??M?a3b3tA??abv應力函數(shù)為22M?xy?t??x,y?????1?22?ab?ab?v剪應力分量的計算公式??2MM?tt???x?xyz3??x?ab2I?y???2MM?tt?????x??yzx?3?y?ab2Ix?§6-3矩形截
9、面桿的自由扭轉§6-4小撓度薄膜比擬法oqxTTdxzoTxadTTdybcTy薄膜無抗彎、抗剪能力，薄膜內(nèi)將產(chǎn)生均勻、雙向、等值的應立場圖6?10普朗都指出：薄膜在均勻壓力下的垂度，與等截面直桿扭轉問題中的應力函數(shù)，在數(shù)學上是相似的。假定薄膜不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，而只承受均勻的拉力T。?Fz?0?z???z??z?Tdy?Tdy?z?
