第8章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)ppt課件.ppt

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1、第八章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)第一節(jié)扭轉(zhuǎn)問題中應(yīng)力及位移第二節(jié)扭轉(zhuǎn)問題中的薄膜比擬第三節(jié)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)第四節(jié)薄壁桿的扭轉(zhuǎn)第五節(jié)橢圓桿的扭轉(zhuǎn)§8-1扭轉(zhuǎn)問題中應(yīng)力及位移1.應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量設(shè)有等截面直桿，體力可以不計(jì)，在兩端平面內(nèi)受有轉(zhuǎn)向相反的兩個力偶，取桿的上端平面為xoy面，z軸鉛直向下。（8-1）代入平衡微分方程，且，得：圖8-1按應(yīng)力求解，采用半逆解法求解，按材料力學(xué)解答，假設(shè)：除了橫截面上的切應(yīng)力以外，其它的應(yīng)力分量都等于零，即，，（a）由前兩式可知，及只是x、y的函數(shù)，不隨z變化。第三式可寫為：根

2、據(jù)全微分理論，一定存在一個函數(shù)，使得，此處的為扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)。由此得用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分量：，（8-2）將（8-1）代入相容方程（7-13），可見其中的前三式及最后一式總能滿足，而其余兩式成為：，將（8-2）代入，得：，（8-3）考慮邊界條件，在桿側(cè)面，，面力，可見應(yīng)力邊界條件（6-5）式中的前兩式總能滿足，第三式成為：將（8-2）式代入，有由于在邊界上，，（見差分法）說明在桿的側(cè)面，應(yīng)力函數(shù)所取的邊界值應(yīng)是常量（單連體，加減常數(shù)不影響應(yīng)力分量），為簡便，即取為零（8-4）在桿的任一端（如上端z

3、=0），，，應(yīng)力邊界條件（6-5）的第三式總能滿足，而前兩式成為：，由于面力不知道，無法精確滿足，應(yīng)用圣維南原理，改為用主矢、主矩來代替，即：（b）（c）（d）（e）由（8-2）可知，式（c）左邊為：由于=0，可見式（c）能滿足。同理，可知式（d）也能夠滿足。而式（e）左邊也可寫成為：同理：于是，（e）式為：（8-5）總結(jié)：為求應(yīng)力，需求出應(yīng)力函數(shù)F，使其滿足方程（8-3）至（8-5），然后由式（8-2）求出應(yīng)力分量。2.位移分量將應(yīng)力分量（8-1）及（8-2）代入物理方程（6-12），得：，，，，，再

4、代入幾何方程（6-8）式，得：（f）通過積分運(yùn)算，由以上的第一、二及六式求得：，其中的積分常數(shù)也代表剛體位移，若不計(jì)剛體位移，只保留與形變有關(guān)的位移，則：，（8-6）若用圓柱坐標(biāo)表示，就是：，?？梢姡總€橫截面在坐標(biāo)面上的投影不改變，而只是轉(zhuǎn)動一個角度。由此可見，桿在單位長度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角是。將（8-6）代入（f）式的第五、四兩式，得：，（8-7）可以用來求位移分量w。將上列兩式分別對y和x求導(dǎo)，然后相減，移項(xiàng)，得則方程（8-3）中的常數(shù)C是有物理意義的，可表示為：（8-8）（8-9）§8-2扭轉(zhuǎn)問題中的薄

5、膜比擬薄膜在受均布壓力下的垂度，與等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上是相似的。用薄膜來比擬扭桿，有助于尋求扭轉(zhuǎn)問題的解答，稱為薄膜比擬。設(shè)有一塊均勻薄膜，張?jiān)谝粋€水平邊界上，水平邊界形狀與某一扭桿的橫截面邊界形狀相同。當(dāng)薄膜承受微小的氣體壓力時，薄膜各點(diǎn)將發(fā)生微小的垂度。設(shè)邊界所在的水平面為面xy，薄膜的垂度為z。薄膜不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，只承受均勻的拉力FT。。圖8-2從薄膜中取微小單元abcd，它在xy面上的投影是一個矩形，邊長為dx和dy。在ab邊界上的拉力是FTdy（FT是單位寬度

6、上的拉力），它在z軸上的投影是；在cd邊上的拉力也是FTdy，在z軸上的投影是。在ad邊界上的拉力是FTdx，它在z軸上的投影是；在bc邊上的拉力也是FTdx，在z軸上的投影是。單元abcd受到的壓力是qdxdy，由，得簡化后，得（8-10）此外，薄膜在邊界上的垂度為零，即：（8-11）將薄膜垂度z的微分方程（8-10）式與扭桿應(yīng)力函數(shù)F的微分方程（8-8）式對比，并將（8-11）式與（8-4）式對比，可見，如果使薄膜的相當(dāng)于扭桿的2GK，薄膜的垂度z就相當(dāng)于扭桿應(yīng)力函數(shù)F。由于扭矩，而薄膜與邊界平面（

7、xy面）之間的體積的兩倍是：可見，為了使得薄膜垂度z相當(dāng)于扭桿應(yīng)力函數(shù)F，也可以使薄膜與邊界平面之間的體積的兩倍相當(dāng)于扭矩。在扭桿的橫截面上，沿x方向上的切應(yīng)力為，另一方面，薄膜沿y方向的斜率為?？梢?，扭桿橫截面上沿x方向上的切應(yīng)力相當(dāng)于薄膜沿y方向的斜率。由于x軸和y軸可以取在任意兩個垂直的方向上。故可知：在扭桿橫截面上某一點(diǎn)的沿任一方向的切應(yīng)力，就等于薄膜在對應(yīng)點(diǎn)的，沿垂直方向的斜率?！?-3矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)橫截面為矩形，邊長為a和b，如圖8-3。圖8-31.狹長矩形截面桿即a>>b，則由薄膜比擬可

8、以推斷，應(yīng)力函數(shù)F在絕大部分橫截面上幾乎與x無關(guān)，因?yàn)閷?yīng)的薄膜幾乎不受短邊約束的影響，近似于柱面。于是可以假設(shè)為，而式（8-3）成為：積分，并注意有：邊界條件，可得：（a）為求常數(shù)C，將（a）式代入（8-5）式，得：積分，有，，得：（b）代入（a）式，得：（c）將（c）式代入（8-2）式，得應(yīng)力分量：，（8-12）由薄膜比擬可知，最大切應(yīng)力發(fā)生在矩形截面的長邊上，例如A點(diǎn)（），其大小為：將（b）式代入（8-9）式，得扭角：（8-13）（8