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1、第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移10.2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬10.3橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)10.4矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)指導(dǎo)扭轉(zhuǎn)問(wèn)題是空間問(wèn)題中的一個(gè)專門問(wèn)題。扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的理論，是從空間問(wèn)題的基本方程出發(fā)，考慮扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的特性而建立起來(lái)的。扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)?(x，y)，仍然是二維問(wèn)題。柱體扭轉(zhuǎn)圓柱扭轉(zhuǎn)：平面假設(shè)非圓截面扭轉(zhuǎn)：橫截面發(fā)生翹曲柱體扭轉(zhuǎn)精確求解是十分困難的！??！第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移等直非圓桿扭轉(zhuǎn)：橫截面翹曲純扭
2、轉(zhuǎn)（自由扭轉(zhuǎn)）：端面可以自由翹曲（翹曲不受限制）。相鄰截面翹曲的程度完全相同，橫截面上只有切應(yīng)力，沒(méi)有正應(yīng)力。約束扭轉(zhuǎn)：兩端受到約束而不能自由翹曲（翹曲受到限制）。相鄰截面的翹曲程度不同，在橫截面上引起附加正應(yīng)力。彈性力學(xué)討論自由扭轉(zhuǎn)。第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移設(shè)有等直截面桿，體力可以不計(jì)，在兩端平面內(nèi)受有大小相等而轉(zhuǎn)向相反的扭矩M。取桿的一端平面為xy面，z軸沿著桿的縱向。yxxy第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移設(shè)有等直截面桿，體力可以不計(jì)，在兩端平面內(nèi)受有大小
3、相等而轉(zhuǎn)向相反的扭矩M。取桿的一端平面為xy面，z軸沿著桿的縱向。用半逆解法。參考材料力學(xué)中對(duì)于圓截面桿的解答，這里假設(shè)：除了橫截面上的剪應(yīng)力τzx和τzy（即扭應(yīng)力）以外，其余應(yīng)力分量都等于零，即：(10-1）1、求應(yīng)力分量和位移分量：第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移1、求應(yīng)力分量和位移分量：(a）F(x,y)第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移(10-2）第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移(10-2）(10-3）第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)
4、力和位移2考察邊界條件：(10-2）(1)yx第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移(10-4）討論：(10-2）第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移(c）(d）(e）靜力等效(2)(10-2）第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移(c）(d）(e）靜力等效(2)第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移(10-5）(10-2）第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移(10-3）(10-4）(10-5）(10-2）第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)
5、題的應(yīng)力和位移現(xiàn)在推導(dǎo)有關(guān)位移的公式。將應(yīng)力分量的表達(dá)式(10-1)及(10-2)代入物理方程（8-17)，得：(f）第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移通過(guò)積分運(yùn)算，可求得位移分量：(10-6）用柱坐標(biāo)系表示，即：可見，每個(gè)橫截面在xy面上的投影不改變形狀，只是轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度α＝Kz。由此又可見，桿的單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角滿足：第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.1扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的應(yīng)力和位移(10-7）(10-8）(10-3）(10-9）10.2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)德國(guó)力學(xué)家Prantle
6、普朗都指出，薄膜在均勻壓力作用下的垂度，與等直截面桿扭轉(zhuǎn)問(wèn)題中的應(yīng)力函數(shù)，在數(shù)學(xué)上相似。用薄膜來(lái)比擬扭桿，可以有助于求得扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的解答.10.2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬當(dāng)薄膜承受微小的均勻壓力時(shí)，薄膜的各點(diǎn)將發(fā)生微小的垂度。以邊界所在的水平面為xy面，則垂度為z。由于薄模的柔性，可以假定它不承受彎矩、扭矩、剪力和壓力，而只能承受均勻拉力T（好像液膜的表面張力）。均勻薄膜，張?jiān)谝粋€(gè)水平邊界上（上圖所示）條件：水平邊界形狀和大小＝＝＝＝扭轉(zhuǎn)桿的橫截面邊界第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬第十章等截面直
7、桿的扭轉(zhuǎn)簡(jiǎn)化后(10-10)此外，薄膜在邊界上的垂度顯然等于零，即(10-11)10.2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)薄膜問(wèn)題與扭轉(zhuǎn)問(wèn)題比較：扭轉(zhuǎn)問(wèn)題薄膜問(wèn)題結(jié)論：10.2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)薄膜問(wèn)題與扭轉(zhuǎn)問(wèn)題比較：結(jié)論：10.2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)薄膜問(wèn)題與扭轉(zhuǎn)問(wèn)題比較：10.2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)10.2扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的薄膜比擬第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)薄膜曲面可以形象地描述橫截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分布。薄膜的等高線：切應(yīng)力方向沿薄膜等高線切線切應(yīng)力
8、與等高線法線方向?qū)?shù)成正比。切應(yīng)力與等高線相切。切應(yīng)力線。10.3橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)等截面直桿，它的橫截面具有一個(gè)橢圓邊界，橢圓的半軸是a和b。(a)10.3橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)等截面直桿，它的橫截面具有一個(gè)橢圓邊界，橢圓的半軸是a和b。(a)由于應(yīng)力函數(shù)φ在橫截面的邊界上應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹悖约僭O(shè)應(yīng)力函數(shù)為：(b)其中m是一個(gè)常數(shù)，然后考察，是否滿足一切條件。第十章等截面直桿的扭轉(zhuǎn)AAB10.3橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第十
