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1、一、基本物理定律與典型方程的建立二、各種定解條件的數(shù)學描述三、偏微分方程定解問題的基本概念數(shù)學物理方程定解問題的提法泛定方程（傳輸方程、波動方程、熱傳導方程、拉普拉斯方程等）定解問題：定解條件（初始條件，邊界條件）四、兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第一章一些典型方程和定解條件的推導7/18/20211條件：均勻柔軟的不可拉伸細弦，在平衡位置附近作微小橫振動。不受外力影響。1.1.1牛頓運動定律與弦振動方程研究對象：弦線上某點在t時刻沿縱向的位移。一、基本物理定律與典型方程的建立7/18/20212弦振動的相關(guān)模擬7/18/2
2、0213波的傳播的相關(guān)模擬7/18/20214弦振動的相關(guān)模擬7/18/20215簡化假設(shè)：(2)橫向振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。牛頓運動定律：橫向：縱向：其中：其中：7/18/20216其中：………一維波動方程令：------非齊次方程自由項--齊次方程忽略重力作用：7/18/20217從麥克斯韋方程出發(fā)：在沒有場源的自由空間：例1時變電磁場與三維波動方程7/18/20218對第一方程兩邊取旋度，根據(jù)矢量運算：由此得：得：即：同理可得：——電場的三維波動方程——磁場的三維波動方程7/18/
3、202191.1.2能量守恒與熱傳導方程熱傳導現(xiàn)象中所要研究的物理量是溫度。熱傳導現(xiàn)象：當導熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場溫度與那些量有關(guān)呢？例如，手握鐵棒放在爐火燒，火中的一端溫度高，手握的一端溫度低，這說明溫度分布與位置有關(guān)；同時，手握的一端也會慢慢變燙，即溫度分布與時間有關(guān)。給定一空間內(nèi)物體，設(shè)其上的點在時刻t的溫度為,研究溫度的運動規(guī)律。7/18/2021101.1.2能量守恒與熱傳導方程傅立葉試驗定律是傅立葉在1822年出版的著作《熱的解析理論》中提出的。傅立葉是導熱理論的奠基人，他通過實驗，分析和總結(jié)了物體內(nèi)
4、的導熱規(guī)律，建立了傅立葉試驗定律，從而揭示了導熱熱流與局部溫度梯度間的內(nèi)在聯(lián)系。熱場2、傅里葉(Fourier)熱傳導定律(試驗定律):1、熱量守恒定律:溫度變化吸收的熱量通過邊界流入的熱量熱源放出的熱量兩個物理定律7/18/2021111.1.2能量守恒與熱傳導方程根據(jù)傅立葉試驗定律，在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為高斯公式(矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分)傅立葉試驗定律：在任意時刻，各向同性的連續(xù)介質(zhì)內(nèi)任意位置處的熱流密度在數(shù)值上與該點的溫度梯度成正比，而方向相反，即熱場其中k為導熱系數(shù)，公式中
5、的負號表示熱量的傳遞方向與溫度梯度方向相反。7/18/202112熱場流入的熱量導致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化?,溫度發(fā)生變化需要的熱量為：由熱量守恒定律得：由及的任意性知由此得到熱傳導方程：它反映了導熱物體內(nèi)的能量守恒關(guān)系。7/18/202113熱場如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導方程為熱擴散系數(shù)。對均勻且各向同性物體，即物體的熱物性參數(shù)均為常數(shù)，則有對應(yīng)地，稱(1)為齊次熱傳導方程。稱f為非齊次項(自由項)。7/18/202114質(zhì)量守恒與擴散方程1858年,菲克(Fick)參照了傅里葉于1822年建立的導熱方程,獲得了描述物質(zhì)從高濃度區(qū)向低濃度區(qū)
6、遷移的定量公式:菲克第一定律。假設(shè)有一單相固溶體,橫截面積為A,濃度C不均勻,在dt時間內(nèi),沿法向通過點x處截面A所遷移的物質(zhì)的量與該處的濃度梯度成正比：由擴散通量的定義:單位時間內(nèi)通過單位橫截面的粒子數(shù)，有菲克第一定律（1） 式中J稱為擴散通量.常用單位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)；是同一時刻沿軸的濃度梯度；D是比例系數(shù)，稱為擴散系數(shù)。7/18/202115質(zhì)量守恒與擴散方程擴散過程擴散通量J的方向與濃度降低的方向一致7/18/202116如圖所示，在擴散方向上取體積元和分別表示流入和流出體積元的擴散通量，則在Δt時間內(nèi)，體積元中擴
7、散物質(zhì)的積累量為擴散流通過微小體積的情況質(zhì)量守恒與擴散方程即擴散物質(zhì)的濃度滿足擴散方程：而于是7/18/202117質(zhì)量守恒與擴散方程如果擴散系數(shù)為常數(shù)，則上式可寫成一般稱以下兩式為菲克第二定律：1.1.3靜電位勢與拉普拉斯方程電勢u確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：對方程進行化簡：拉普拉斯方程泊松方程7/18/2021181.1.4質(zhì)量守恒與連續(xù)性方程所要研究的物理量：時刻t流體在位置M(x,y,z)處的密度假設(shè)流體在無源的區(qū)域內(nèi)流動，流速為在dt時間內(nèi)從dS流入V的質(zhì)量為：從時刻t1到t2通過S流入V的質(zhì)量為高斯公式（矢量散度的體積分
8、等于該矢量的沿著該體積的面積分）7/18/202119由區(qū)域和時間段的任意性以及被積函數(shù)的連續(xù)
