些典型方程和定解條件的推導(dǎo)

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1、第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)§1.1基本方程的建立例1弦的振動1、問題的提法給定一根兩端固定（平衡時沿直線）均勻柔軟的細(xì)弦，其長為l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動，研究弦上各點的運動規(guī)律。2、方程的推導(dǎo)基本假設(shè)：（1）弦是均勻的。弦的橫截面直徑與弦的長度相比可以忽略（細(xì)），因此，弦可以視為一條直線，它的線密度ρ是常數(shù)。（2）弦在某一平面內(nèi)作微小橫振動，即弦的位置始終在一直線附近，而弦上各點均在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小的振動。所謂“微小”是指振動的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小。（3）弦是柔軟的。它在形變時不抵抗彎曲，弦上各質(zhì)點間的張力方向與弦的切線方向一致

2、，而弦的伸長形變與張力的關(guān)系服從胡克（Hook）定律。由上述假定推導(dǎo)振動方程。先討論不受外力作用時弦的振動。由Newton第二定律，知作用在物體上的力=該物體的質(zhì)量×該物體的加速度于是，在每一個時間段內(nèi)作用在物體上的沖量=該物體的動量的變化由于弦上各點的運動規(guī)律不同，必須對弦的各個片段分別進行考察。為此，如圖1.1，選擇坐標(biāo)系，將弦的兩端固定在x軸的O、L兩點上（OL=l）。圖1.1弦樂器所用的弦往往是很輕的，它的重量只有張力的幾萬分之一。跟張力相比，弦的重量完全可以略去。這樣，真實的弦就抽象為“沒有重量的”弦。把沒有重量的弦繃緊，它在不振動時是一根直線，就取這直線作為x軸(圖1.1)，把弦

3、上各點的橫向位移記作u，位移u在弦上各點是不一樣的，即u有賴干x；另一方面，既然研究的是振動，位移u必隨時間t而變，即u又依賴于t。這樣，橫向位移u是x和t的函數(shù)。用u(x,t)表示弦上各點在時刻t沿垂直于x方向的位移。當(dāng)t固定時，u(x,t)表示弦在時刻t所處的狀態(tài)。把弦細(xì)分為許多極小的小段。拿區(qū)間（x，x+dx）上的小段B為代表加以研究。B既然沒有重量而且是柔軟的，它就只受到鄰段A和C的拉力T1和T2。弦的每小段都沒有縱向（即x方向)的運動，所以作用于B的縱向合力應(yīng)為零，（1.1）按照弦作微小振動的假設(shè)，可知振動過程總弦上x點與x+dx處切線的傾角都很小，即α1≈0，α2≈0，從而由可知

4、，當(dāng)我們略去α1與α2所有高于一次方的各項時，就有帶入（1.1）式，便可近似得到。在u方向弧段B受力的總和為T2sinα2-T1sinα1-ρgds，其中-ρgds是弧段B的重力。又因當(dāng)α1≈0，α2≈0時且小弧段B在時刻t沿u方向運動的加速度近似為，小弧段的質(zhì)量為ρgds，所以根據(jù)F＝ma寫出B的橫向運動方程或（1.2）上式左邊括號內(nèi)的部分是由于x產(chǎn)生dx的變化而引起的的改變量，可用微分近似代替，即于是或一般說來，張力較大時振動速度變化很快，即要比g大很多，所以又可以把g略去（或跟張力相比，弦的重量完全可以略去。這樣，真實的弦就抽象為“沒有重量的”弦）。略去次要的量，抓住主要的量，在u(x

5、,t)關(guān)于x，t都是二次連續(xù)可微的前提下，最后得出u(x,t)應(yīng)近似滿足方程（1.3）其中。（1.3）式稱為一維波動方程。如果在振動過程中，弦上另外還受到一個與弦的振動方向平行的外力，且假定在時刻t弦上x點處的外力密度為F(x,t)，顯然，在這時（1.1）及（1.2）分別為利用上面的方法并略去弦本身的重量，可得弦的強迫振動方程為（1.3）′其中，表示時刻t單位質(zhì)量得弦在x點處所受的外力密度。方程（1.3）與（1.3）′得差別在于（1.3）′的右端多了一個與未知函數(shù)u無關(guān)的項f(x,t)，這個項稱為自由項。包括非零自由項得方程稱為非齊次方程，自由項恒等于零的方程稱為齊次方程。（1.3）稱為齊次

6、一維波動方程，（1.3）′稱為非其次一維波動方程。例2傳輸線方程1、問題的提法對于直流電或低頻的交流電，電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中電流相等。但對于較高頻率的電流（指頻率還沒有高到能量顯著地輻射電磁波的情況），電路中導(dǎo)線的自感和電容的效應(yīng)不可忽略，因而同一支路中電流未必相等。2、方程的推導(dǎo)今來考慮一來一往高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體（圖1.2）我們來研究這種導(dǎo)體內(nèi)電流流動的規(guī)律。在具有分布參數(shù)的導(dǎo)體中，電流通過的情況，可以用電流強度i與電壓v來描述，此處i與v都是x，t的函數(shù)，記作i（x，t）與v（x，t）。以R，L，C，G分別表示下列參數(shù)：R——每一回路

7、單位的串聯(lián)電阻；L——每一回路單位的串聯(lián)電感；C——每單位長度的分路電容；G——每單位長度的分路電導(dǎo)。根據(jù)基爾霍夫第二定律，在長度為△x的傳輸線中，電壓降應(yīng)等于電動勢之和，即由此得（1.4）另外，由基爾霍夫第一定律，流入節(jié)點的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點的電流，即或（1.5）將方程（1.4）與（1.5）合并，即得i，v應(yīng)滿足如下方程組從這個方程組消去v（或i），即可得到i（或v）所滿足得方程。例如，為了消去v，我們將