斐波那契數(shù)列.doc

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1、斐波那契數(shù)列的探究如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第三個月里，又能生1對小兔子．假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對出生的小兔子開始，50個月后會有多少對兔子？每月底兔子對數(shù)是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……，50個月后是12586269025對．這就是著名的斐波那契數(shù)列．斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，……●觀察斐波那契數(shù)列項數(shù)之間有什么關(guān)系？從第三項開始每一項等于其前兩項的和，即若用Fn表示

2、第n項，則有Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3）．通過遞推關(guān)系式，可算出任意項，不過，當(dāng)n很大時，推算是很費事的．必須找到更為科學(xué)的計算方法．能否找到通項公式，并給予證明？1730年法國數(shù)學(xué)家棣莫弗給出其通項表達式[-]，19世紀(jì)初另一位法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明這一表達式，現(xiàn)在稱之為——比內(nèi)公式．1．下面研究一下該通項公式的來歷已知：數(shù)列{an}滿足a1=a2=1,a3=2，且an+2=an+1+an(n≥3),求an證明：（利用等比數(shù)列性質(zhì)求解）構(gòu)造常數(shù)A、B，使之整理得：與比較得解之得：A=、B=不妨取A=、B=得：∴是以

3、為首項，以為公比的等比數(shù)列。∴上式兩邊同除得：采用迭加：-=[++…+]==[-]∴[-]2．項間關(guān)系斐波那契數(shù)列有許多奇妙的性質(zhì)，下面一起研究部分性質(zhì)：（1）問題：觀察相鄰兩項之間有什么關(guān)系？相鄰兩項互素，（）（2）1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…第3項、第6項、第9項、第12項、……的數(shù)字，有什么共同特點？能夠被2整除．第4項、第8項、第12項，能夠被3整除．第5項、第10項、……的數(shù)字，能夠被5整除．你還能發(fā)現(xiàn)哪些類似的規(guī)律？（3）F1+F2+F3+…+Fn+1=Fn+2如果把前五加起

4、來再加1，結(jié)果會等于第七項；如果把前六項加起來，再加1，就會得出第八項．那么前n項加起來再加1，會不會等于第n+2項呢？提示：1+1+2+3+5+1=131+1+2+3+5+8+1=21由于每一項都是其前兩項的和，所以　F1+F2+F3+…+Fn+1=Fn+2（4）如果分別對偶數(shù)項與奇數(shù)項做加法運算的話，情形又如何呢？1+2+5=81+2+5+13=211+1+3+8=131+1+3+8+21=34提示：我們可以得到下列的結(jié)果：能否給出證明？（5）不可思議的是，如果把第三項的平方加上第四項的平方會得到第七項．22+32=4

5、+9=1332+52=9+25=3482+132=64+169=233試試看其它的情形．F2n+F2n+1=F2n+1是不是都成立呢？（6）更不可思議的是，你能想象到嗎，斐波那契數(shù)列與楊輝三角居然有聯(lián)系？提示：111121133114641151010511615201561112813353．黃金分割把斐波那契數(shù)列中從第二項開始的每一項除以前一項，得到一個新的數(shù)列，并畫出圖象，分析新數(shù)列的特點．提示：1，2，1.5，1.67，1.6，1.63，1.615，1.619，1.618，.....　下圖中橫軸為n的值，縱軸為的取

6、值：看起來好像會趨近某個定值，大約為1.61……．這是為人所知的黃金比率,因此斐波那契的序列也稱黃金序列，開普勒發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的黃金比率．4．探究其它特性（五）聯(lián)系生活1．生物學(xué)與斐波那契數(shù)列在現(xiàn)實的自然世界中，《算盤書》里那樣的神奇兔子自然是找不到的，但是這并不妨礙大自然使用斐波那契數(shù)列．起絨草橢球狀的花頭，你可以看見那上面有許多螺旋．很容易想像，如果從上面俯視下去的話，這些螺旋從中心向外盤旋，有些是順時針方向的，還有些是逆時針方向的．逆時針與順時針的螺旋數(shù)就是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩項．斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)是如

7、此地頻繁，人們深信這不是偶然的。以這樣的形式排列種子、花瓣或葉子的植物還有很多（最容易讓人想到的是向日葵），事實上許多常見的植物，我們食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的葉子排列也具有這個特性，只是不容易觀察清楚．盡管這些順逆螺旋的數(shù)目并不固定，但它們也并不隨機，它們是斐波那契序列中的相鄰數(shù)字．這樣的螺旋被稱為斐波那契螺旋．展示自然界中各種各樣的斐波那契螺旋圖片．（1）細察下列各種花，它們的花瓣的數(shù)目具有斐波那契數(shù)：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花．斐波那契數(shù)經(jīng)常與花瓣的數(shù)目相結(jié)合：　　3

8、…百合和蝴蝶花　　5…藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草　　8…翠雀花　　13…金盞草　　21…紫宛　　34，55，84…雛菊（2）斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)．例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點數(shù)葉子(假定沒有折損)，直至到達與那片葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波