ch4 隨機(jī)變量的數(shù)字特征.ppt

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1、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征2021/9/8概率論數(shù)學(xué)期望的定義隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)§1數(shù)學(xué)期望2021/9/8概率論一、數(shù)學(xué)期望定義1）離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，記作E(X)，且數(shù)學(xué)期望也稱為均值。2021/9/8概率論2）連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，若積分絕對(duì)收斂，則稱積分的值為X的數(shù)學(xué)期望。記為2021/9/8概率論例1此例說(shuō)明了數(shù)學(xué)期望更完整地刻化了X的均值狀態(tài)。2021/9/8概率論例2按規(guī)定，火車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨

2、機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立，其規(guī)律為：到站時(shí)間8:10,9:108:30,9:308:50,9:50概率1/63/62/6(1)旅客8:00到站，求他侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。(2)旅客8:20到站，求他侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。2021/9/8概率論二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1：設(shè)Y=g(X),g(x)是連續(xù)函數(shù)，(2)若X的概率密度為f(x)，（1）若X的分布率為則則2021/9/8概率論定理2：若(X,Y)是二維隨機(jī)變量，(1)若(X,Y)的分布律為(2)若(X,Y)的概率密度為f(x,y)，且g(x,y)是二元連續(xù)函數(shù)，2021/9/8概率論例3設(shè)(X,Y)在區(qū)

3、域A上服從均勻分布，其中A為x軸,y軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域。求E(X)，E(-3X+2Y)，E(XY)。例4國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X（噸），X~U[2000,4000]，每售出這種商品一噸，可為國(guó)家掙得外匯3萬(wàn)元，但銷售不出而囤積在倉(cāng)庫(kù)，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬(wàn)元。問(wèn)需要組織多少貨源，才能使國(guó)家收益最大。2021/9/8概率論三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)c是常數(shù).c是常數(shù).4)若X,Y獨(dú)立.2021/9/8概率論例5對(duì)N個(gè)人進(jìn)行驗(yàn)血，有兩種方案：（2）將采集的每個(gè)人的血分成兩份，然后取其中的一份，按k個(gè)人一組混合后進(jìn)行化驗(yàn)（設(shè)N是k的倍數(shù)

4、），若呈陰性反應(yīng)，則認(rèn)為k個(gè)人的血都是陰性反應(yīng)，這時(shí)k個(gè)人的血只要化驗(yàn)一次；如果混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng)，則需對(duì)k個(gè)人的另一份血液逐一進(jìn)行化驗(yàn)，這時(shí)k個(gè)人的血要化驗(yàn)k+1次;（1）對(duì)每人的血液逐個(gè)化驗(yàn)，共需N次化驗(yàn)；2021/9/8概率論假設(shè)所有人的血液呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率都是p，且各次化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的。試說(shuō)明適當(dāng)選取k可使第二個(gè)方案減少化驗(yàn)次數(shù)。例6一民航送客載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)。求E(X)（設(shè)每個(gè)旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）。2021/9/8概率論本節(jié)小

5、結(jié)：1）數(shù)學(xué)期望的定義。2）隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。3）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。2021/9/8概率論§2方差方差的定義方差的性質(zhì)切比雪夫不等式2021/9/8概率論一、方差的定義設(shè)X是隨機(jī)變量，若存在，稱其為隨機(jī)變量X的方差，記作D(X),或Var(X)，即：1）定義：2021/9/8概率論2）方差公式：注：方差描述了隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度。離散型：連續(xù)型：2021/9/8概率論例12021/9/8概率論二、方差的性質(zhì)2021/9/8概率論稱Y是隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化了的隨機(jī)變量。則E(Y)=0,D(Y)=1。性質(zhì)4）的證明將在后面給出。例22021/9/8概率論

6、三、定理：（切比雪夫不等式）則對(duì)任意設(shè)隨機(jī)變量X有數(shù)學(xué)期望證明：(只證X是連續(xù)型)2021/9/8概率論例如：在上面不等式中，取，有：這個(gè)不等式給出了隨機(jī)變量X的分布未知情況下，事件的概率的一種估計(jì)方法。2021/9/8概率論例3設(shè)種子的良種率為1/6，任選600粒，試用切比雪夫（Chebyshev）不等式估計(jì)：這600粒種子中良種所占比例與1/6之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.02的概率。解：2021/9/8概率論小結(jié)：1）方差的定義；2）方差的性質(zhì)；3）切比雪夫不等式。2021/9/8概率論§3.幾種重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差2021/9/8概率論2）二項(xiàng)分布1）兩點(diǎn)分

7、布2021/9/8概率論所以說(shuō)明了二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的關(guān)系。3）泊松分布設(shè)X服從參數(shù)為?的泊松分布，2021/9/8概率論4）均勻分布5）指數(shù)分布2021/9/8概率論5）正態(tài)分布2021/9/8概率論注意：在上一節(jié)用切比曉夫不等式估計(jì)概率有因此，對(duì)于正態(tài)隨機(jī)變量X來(lái)說(shuō)，它的值落在區(qū)間x0內(nèi)幾乎是肯定的。2021/9/8概率論要求：熟記兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的期望值和方差值。2021/9/8概率論§4協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差的定義協(xié)方差的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的定義相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)2021/9/8概率論一、協(xié)方差稱COV(X,Y)=E{[X