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1、一、定義回顧1.嚴(yán)、寬平穩(wěn)隨機(jī)過程(后者為主)數(shù)字特征。（二階矩條件，?x，Rx(?)，Rx(m)）平穩(wěn)隨機(jī)過程例1.設(shè)狀態(tài)連續(xù)、時(shí)間離散的隨機(jī)過程，其中是隨機(jī)變量。討論序列的平穩(wěn)性。解.首先驗(yàn)證是否為二階矩過程。然后考慮只依賴于m，所以是平穩(wěn)序列。例2.設(shè)隨機(jī)過程，其中Y是非零隨機(jī)變量，討論過程的平穩(wěn)性。解.1）首先驗(yàn)證是否為二階矩過程。2）然后考慮期望、相關(guān)函數(shù)。E(X)是否與t有關(guān)？取決于E(Y)是否為零。不依賴于t？依賴與Y的方差是否為零。與題設(shè)矛盾，故非平穩(wěn)。二、自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（平穩(wěn)）性質(zhì)1.Rx(0)?0；證:Rx(0)=E[X2(t)]?0性質(zhì)2.Rx(?)
2、為偶函數(shù)，即Rx(-?)=Rx(?)證：Rx(-?)=E[X(t)X(t-?)]=E[X(t-?)X(t)]=Rx(?)性質(zhì)3.
3、Rx(?)
4、?Rx(0)證：由柯西-施瓦茲不等式性質(zhì)4.非負(fù)定性.即對任意n,任意實(shí)數(shù)a1,a2,…,an,任意t1,t2,…,tn∈T有性質(zhì)5.周期性.若平穩(wěn)過程X(t)滿足X(t)=X(t+k)，則稱它為周期過程，周期為k。周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必是以k為周期的函數(shù)。性質(zhì)6.復(fù)平穩(wěn)過程（略）。三、聯(lián)合平穩(wěn)過程的平穩(wěn)相關(guān)、互相關(guān)函數(shù)（1）定義:設(shè){X(t)},{Y(t)},t?T為兩個(gè)平穩(wěn)過程，如果它們的互相關(guān)函數(shù)RXY(t,t+?)只是?的
5、函數(shù),即RXY(t,t+?)=E[X(t)Y(t+?)]=RXY(?),則稱{X(t)},{Y(t)}是平穩(wěn)相關(guān)的，或稱{X(t)}與{Y(t)}是聯(lián)合平穩(wěn)過程.并稱RXY(?)=E[X(t)Y(t+?)]為{X(t)}與{Y(t)}的互相關(guān)函數(shù)。(2)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)是奇函數(shù)，還是偶函數(shù)？互相關(guān)函數(shù)的簡單性質(zhì)證明：由性質(zhì)1，2可得。例1:如圖所示，將兩個(gè)平穩(wěn)過程X(t)，Y(t)同時(shí)輸入加法器中,加法器輸出隨機(jī)過程W(t)=X(t)+Y(t),若X(t)與Y(t)平穩(wěn)相關(guān)，則W(t)為平穩(wěn)過程x(t)w(t)y(t)E[W(t)W(t+?)]=E{[X(t)+Y
6、(t)][X(t+?)+Y(t+?)]} =E[X(t)X(t+?)]+E[X(t)Y(t+?)]+E[Y(t)X(t+?)]+E[Y(t)Y(t+?)] =Rx(?)+RxY(?)+RxY(-?)+RY(?)可見W(t)的自相關(guān)函數(shù)Rw(t,t+?)只依賴于?,所以w(t)為平穩(wěn)過程.例2:設(shè)X(t)=Asin(?t+Θ)，Y(t)=Bsin(?t+Θ-?),A,B,?,?為常數(shù)，Θ在(0,2?)上服從均勻分布，證明:{X(t)},{Y(t)}是平穩(wěn)相關(guān)的，并求RXY(?)。解:1.首先驗(yàn)證X(t),Y(t)均為平穩(wěn)過程.2.考慮相關(guān)函數(shù)所以，X(t),Y(t)為聯(lián)合平穩(wěn)
7、的。同樣的方法可算得1.均方收斂的定義：設(shè)有｛Xn,n=1,2,…｝和隨機(jī)變量X,滿足E(
8、Xn
9、2)<+?,E(
10、X
11、2)<+?,若有則稱｛Xn｝均方收斂于X,記作隨機(jī)分析一、均方收斂及均方連續(xù)2．均方極限的性質(zhì)證明：證明（2）：證明（3）：3．均方極限與期望的關(guān)系證明：(1)由柯西-施瓦茲不等式由柯西-施瓦茲不等式4．均方收斂準(zhǔn)則均方收斂的準(zhǔn)則（證明）可得。中由(3)3)2()1(T均方收斂的準(zhǔn)則（證明續(xù)）從而該序列依概率相互收斂，故存在子序列幾乎處處收斂到X，由Fatou-Lebesgue定理，5．均方連續(xù)設(shè){X(t),t?T}是隨機(jī)過程,若對某t0?T,有稱{X(t
12、),t?T}在t0均方連續(xù)，若對任意t?T，{X(t),t?T}均方連續(xù)，稱{X(t),t?T}在T上均方連續(xù)。記為5.1.均方連續(xù)與均值函數(shù)的關(guān)系設(shè){X(t),t?T}是T上均方連續(xù)隨機(jī)過程,若對某t?T,記均值函數(shù)為，則證：由柯西-施瓦茲不等式，當(dāng)h?0時(shí)，
13、
14、5.2.均方連續(xù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系定理.隨機(jī)過程{X(t),t?T}在t?T處均方連續(xù)的充要條件是其相關(guān)函數(shù)在(t,t)點(diǎn)連續(xù)。證明：先證明充分性。即證明(均方連續(xù)準(zhǔn)則)必要性：即證相關(guān)函數(shù)的連續(xù)性。已知由均方收斂與期望的關(guān)系可知證明：由定理知，對于任意的t，{X(t)}在t處均方連續(xù)。推論.若在一切(t,t)點(diǎn)
15、連續(xù)，則在一切(s,t)點(diǎn)連續(xù)。5.3.平穩(wěn)過程均方連續(xù)性與其自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系定理設(shè)平穩(wěn)過程{X(t),t?T}的自相關(guān)函數(shù)為Rx(?),則下列條件等價(jià)：①{X(t),t?T}在T上均方連續(xù)；②{X(t),t?T}在t=0均方連續(xù)；③Rx(?)在?=0連續(xù)；④Rx(?)在T上連續(xù)。證明：①?②，顯然； ②?③：當(dāng)h?0時(shí)，③?④：當(dāng)h?0時(shí)，④?①：當(dāng)h?0時(shí)定義：設(shè)為隨機(jī)過程，對任意若存在隨機(jī)變量使得6．隨機(jī)過程的均方導(dǎo)數(shù)則稱在t處均方可導(dǎo)。記為稱X為在t處的均方導(dǎo)數(shù)。若在每一點(diǎn)都是均方可導(dǎo)的，則稱它在T上均方可
