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1、2021/9/91平穩(wěn)隨機過程與各態(tài)歷經(jīng)過程平穩(wěn)隨機過程的概念平穩(wěn)隨機過程的主要特征：過程的統(tǒng)計特性不隨時間改變。*平穩(wěn)隨機過程分析方法簡單，對于平穩(wěn)隨機過程已建立起了一套完整、有效、成熟的理論分析和實驗研究方法。*實際應用中的許多非平穩(wěn)隨機過程大都可以在一定條件下被近似看作平穩(wěn)過程，或分段看作短時平穩(wěn)過程。*非平穩(wěn)隨機過程的理論分析相對復雜、相對不成熟。實際問題多為非平穩(wěn)過程，為何單獨要研究平穩(wěn)過程？(1)定義如果對于任意的n和，隨機過程X(t)的n維概率密度滿足：則稱X(t)為嚴平穩(wěn)（或狹義）隨機過程。t嚴平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性與時間起點無關。5.1平穩(wěn)隨機過程5.
2、1.1嚴平穩(wěn)(2)一、二維概率密度及數(shù)學特征嚴平穩(wěn)隨機過程的一維概率密度與時間無關t嚴平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度只與t1,t2的時間間隔有關，而與時間起點無關按照嚴平穩(wěn)的定義，判斷一個隨機過程是否為嚴平穩(wěn)，需要知道其n維概率密度，可是求n維概率密度是比較困難的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機過程不是嚴平穩(wěn)的，具體方法有兩個：(1)若X(t)為嚴平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則與時間t無關。(2)若X(t)為嚴平穩(wěn)，則對于任一時刻t0，X(t0)具有相同的統(tǒng)計特性。(3)嚴平穩(wěn)的判斷若隨機過程X(t)滿足則稱X(t)為寬平穩(wěn)或廣義平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關系：嚴平穩(wěn)
3、過程的均方值有界，則此過程為寬平穩(wěn)的，反之不成立。對于正態(tài)過程，嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。5.1.2寬平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)性是隨機信號的統(tǒng)計特性對參量（組）的移動不變性，即平穩(wěn)隨機信號的測試不受觀察時刻的影響；應用與研究最多的平穩(wěn)信號是廣義平穩(wěn)信號；嚴格平穩(wěn)性因要求太“苛刻”，更多地用于理論研究中；經(jīng)驗判據(jù)：如果產生與影響隨機信號的主要物理條件不隨時間而改變，那么通?？梢哉J為此信號是平穩(wěn)的。非平穩(wěn)信號：當統(tǒng)計特性變化比較緩慢時，在一個較短的時段內，非平穩(wěn)信號可近似為平穩(wěn)信號來處理。如語音信號，人們普遍實施10－30ms的分幀，再采用平穩(wěn)信號處理技術解決有關問題例1.設隨機過程Z(
4、t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互獨立的二元隨機變量，它們都分別以2/3和1/3的概率取-1和2，試求：Z(t)的均值和自相關函數(shù)；證明Z(t)是寬平穩(wěn)的，但不是嚴平穩(wěn)的。解：因此，Z(t)是寬平穩(wěn)的。因此，Z(t)不是嚴平穩(wěn)的。例2.設隨機過程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元隨機變量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，試分別討論X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平穩(wěn)性。解：X(t)不是平穩(wěn)過程。Y(t)是平穩(wěn)過程。5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平
5、穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性5.1.3循環(huán)平穩(wěn)性SSSWSSSSCSWSCS除Guass二階矩過程二階矩過程5.1.4平穩(wěn)隨機過程相關函數(shù)的性質1)實平穩(wěn)過程X(t)的自相關函數(shù)是偶函數(shù)，即，同理可得。證明：2)平穩(wěn)過程的均方值就是自相關函數(shù)在時的值3)平穩(wěn)過程自相關函數(shù)的最大值在處，，同理可得證明：4)周期為T的平穩(wěn)過程，其自相關函數(shù)也是周期為T的函數(shù)5)不含任何周期分量的非周期平穩(wěn)過程滿足6)若平穩(wěn)過程含有平均分
6、量為mX，則自相關函數(shù)將含有固定分量mX2，即7)自相關函數(shù)必須滿足并對所有的ω成立。即自相關函數(shù)在整個頻率軸上是非負值的。限制了自相關函數(shù)圖形不能有平頂、垂直邊或幅度上的不連續(xù)數(shù)學期望均方值方差協(xié)方差例3：已知平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關函數(shù)為RX(τ)=100e-10
7、τ
8、+100cos10τ+100求X(t)的均值、均方值和方差。RX(τ)=（100cos10τ）+（100e-10
9、τ
10、+100）=RX1(τ)+RX2(τ)式中，RX1(τ)=100cos10τ是X(t)中周期分量的自相關函數(shù)，此分量的均值mx1=0;RX2(τ)=100e-10
11、τ
12、+100是X
13、(t)的非周期分量的自相關，由性質4，可得所以有解：嚴平穩(wěn)隨機過程寬平穩(wěn)隨機過程嚴平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性與時間起點無關。一維概率密度與時間無關均值、均方值、方差及與時間無關二維概率密度僅與時間間隔有關相關函數(shù)僅與時間間隔有關均值與時間無關，相關函數(shù)僅與時間間隔有關此值在[－1，1]之間。相關系數(shù)表示不相關表示完全相關表示正相關，即兩個不同時刻起伏值符號相同可能性大。5.1.5平穩(wěn)過程的相關系數(shù)和相關時間當相關系數(shù)中的時間間隔大于某個值，可以認為兩個不同時刻起伏值不相關了，這個時間就稱為相關時間。(1)相關系數(shù)從最大值1下降至0.05時所經(jīng)
