冪函數(shù)的圖像及性質(zhì).ppt

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1、知識(shí)點(diǎn)——冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)【冪函數(shù)的性質(zhì)】函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=x-1定義域RRR[0,+∞){x

2、x∈R且x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y

3、y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0,+∞)時(shí),增x∈(-∞,0]時(shí),減增增x∈(0,+∞)時(shí),減x∈(-∞,0)時(shí),減定點(diǎn)(0,0),(1,1)(1,1)冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)【冪函數(shù)的性質(zhì)】提示:冪函數(shù)y=xα(α∈R)隨著α的取值不同,它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不同.但它們的圖象均不經(jīng)過(guò)第四象限,在其他象限的圖象可由定義域和奇偶性決定.冪函

4、數(shù)的圖像及性質(zhì)【冪函數(shù)的圖像】在同一平面直角坐標(biāo)系下,冪函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的圖象分別如下圖.冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)【典型例題】1、已知f(x)=,(1)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性并證明;(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),求f(x)的最大值.解:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).證明如下:任取x1、x2∈(0,+∞),且x10,x2-x1>0,x12x22>0.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).∴

5、函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).(2)由(1)知,f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+∞),∴函數(shù)f(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),∴函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的最大值為f(1)=2.冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)【典型例題】2、已知冪函數(shù)y=xp-3(p∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且在(0,+∞)上是減函數(shù),求滿(mǎn)足的a的取值范圍.解:∵函數(shù)y=xp-3在(0,+∞)上是減函數(shù),∴p-3<0,即p<3,又∵p∈N*,∴p=1,或p=2.∵函數(shù)y=xp-3的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),∴p-3是偶數(shù),∴取p=1,即y=x-2,由,∵函數(shù)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),

6、∴由,得a-1<3+2a即a>-4.∴所求a的取值范圍是(-4,+∞).冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)【變形訓(xùn)練】1、已知冪函數(shù),當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)為減函數(shù),則該冪函數(shù)的解析式是什么?奇偶性如何?單調(diào)性如何?解:由于為冪函數(shù),所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.當(dāng)m=2時(shí),m2-2m-3=-3,y=x-3,在(0,+∞)上為減函數(shù);當(dāng)m=-1時(shí),m2-2m-3=0,y=x0=1(x≠0)在(0,+∞)上為常函數(shù),不合題意,舍去.冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)【變形訓(xùn)練】故所求冪函數(shù)為y=x-3.這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù),其定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),根據(jù)

7、函數(shù)在x∈(0,+∞)上為減函數(shù),推知函數(shù)在(-∞,0)上也為減函數(shù).

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