蒲豐(Buffon)投針隨機試驗的討論 (修改稿).doc

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1、蒲豐(Buffon)投針隨機試驗的討論(修改稿)　　（xx－3－7修改,9-18再修改）例（蒲豐（Buffon）投針隨機試驗的討論）在平面上畫有相互距離均為2a的平行線束，向平面上隨機投一枚長為2l的針，為了避免針與兩平行線同時相交的復(fù)雜情況，假定a?l?0,設(shè)M為針的中點，y為M與最近平行線的距離，φ為針與平行線的交角（如圖1）0?y?a，0????.于是，很明顯，針與平行線相交的充要條件是y?lsin?（如圖2），故相交的概率為p?lsin?1?1?2l　　(1)d?dy?lsin?d???0?

2、a?0?a?0?a我們用n表示投針次數(shù)，Sn表示針與平行線相交次數(shù)，由大數(shù)定理知，當n充分大時，頻率接近于概率，即Sn2l?n?a于是有??2nlaSn　?。?）這就是上面所說的用隨機試驗求?值的基本公式?！　「鶕?jù)公式　　（2），19—20世紀，曾有不少學(xué)者做了隨機投針試驗，并得到了?的估計值.其中最詳細的有如下兩個試驗者Wolf　　(1853)a45l362.5投針次數(shù)N50003408相交次數(shù)?25321808?的估計值3.15963.1415929Lazzarini　　(1911)3其中?的估

3、計值就是利用?的近似公式　?。?）得到的，即????2?36?50002000??3.1596（Wolf）45?25326332?2.5?3408355（Lazzarini）??3.14159293?18081131一般情況下，隨機抽樣試驗的精度是不高的，Wolf的試驗結(jié)果是?≈3.1596，只準確兩位有效數(shù)字.精度是由方差D??Sn?p(1?p)決定的，為了確定概率p，不妨取l=a這一極限情??n?n??Sn?0.2313，由積分極限定理，??nn??1-x22況，這時p?2?=0.6366，D?

4、?Sn??p??1?n?limP?????n??2??p(1?p)???n????e??dx即頻率Sn/n近似地服從正態(tài)分布律N?p,p(p?1)/n?.如果要求以大于95%的概率（??1.96），保證以頻率Sn/n作為p的近似值精確到三位有效數(shù)字，??即Sn?p?0.001n0.001?Sn?P??p?0,001??n????則必須有12?p(1?p)/n?0.001p(1?p)n?e1?x22dx?0.950.001???1.96p(1?p)/n根據(jù)上式，要求試驗次數(shù)n?1.96?0.231/0

5、.001?88.7萬次.至于Lazzarini的試驗，為什么實驗次數(shù)少反而精確度卻很高呢？這是由于這一試驗結(jié)果恰好和祖沖之密率355/113相合，而祖沖之密率為無理數(shù)?的連分式，屬于?的最佳有理逼近.很明顯，作為一種具有隨機性質(zhì)的試驗，其結(jié)果恰好與最佳有理逼近的結(jié)果一致是非常偶然的；顧及到上述討論，故Lazzarini的試驗結(jié)果是不大可能的.注以上的討論是第6章“假設(shè)檢驗”方法的一個有實際意義的例子?！　?22?！　　　?nèi)容僅供參考