高考數(shù)學(xué)圓錐曲線中的最值與定值問(wèn)題.doc

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1、圓錐曲線中的最值與定值問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題【考點(diǎn)透視】圓錐曲線的最值問(wèn)題，常用以下方法解決：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；函數(shù)值域求解法：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.利用代數(shù)基本不等式，結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性?！绢}型分析】1.已知P是橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），O為原點(diǎn)，求四邊形OAPB的面積的最大值分析：設(shè)P（,），,點(diǎn)P到直線AB：x+2y=2的距離∴所求面積的最大值為（橢圓

2、參數(shù)方程，三角函數(shù)，最值問(wèn)題的結(jié)合）2.已知點(diǎn)M(-2，0)，N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為：（x>0）（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝x0，此時(shí)A（x0，），B（x0，－），＝2當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等

3、的正數(shù)根，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得

4、k

5、>1，又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2綜上可知的最小值為23.給定點(diǎn)A(-2,2)，已知B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，試求B點(diǎn)的坐標(biāo)。解：因?yàn)闄E圓的，所以，而為動(dòng)點(diǎn)B到左準(zhǔn)線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點(diǎn)B，使得它到A點(diǎn)和左準(zhǔn)線的距離之和最小，過(guò)點(diǎn)B作l的垂線，垂點(diǎn)為N，過(guò)A作此準(zhǔn)線的垂線，垂點(diǎn)為M，由橢圓定義于是為定值其中，當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)AM與橢

6、圓的定點(diǎn)時(shí)等點(diǎn)成立，此時(shí)B為所以，當(dāng)取得最小值時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為4.已知橢圓，A（4，0），B（2，2）是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，求：（1）求的最小值；（2）求的最小值和最大值分析：（1）A為橢圓的右焦點(diǎn)。作PQ⊥右準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，則由橢圓的第二定義，∴，顯然點(diǎn)P應(yīng)是過(guò)B向右準(zhǔn)線作垂線與橢圓的交點(diǎn)，最小值為。（2）由橢圓的第一定義，設(shè)C為橢圓的左焦點(diǎn)，則∴，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與B、C成一條直線時(shí)，便可取得最大和最小值。當(dāng)P到P"位置時(shí)，，有最大值，最大值為；當(dāng)P到位置時(shí)，，有最小值，最

7、小值為.（數(shù)形結(jié)合思想、橢圓定義、最值問(wèn)題的結(jié)合）5.已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求

8、PQ

9、的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過(guò)圓心O1時(shí)

10、PQ

11、最大，因此要求

12、PQ

13、的最大值，只要求

14、O1Q

15、的最大值.設(shè)Q(x，y)，則

16、O1Q

17、2=x2+(y-4)2①因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2)②將②代入①得

18、O1Q

19、2=9(1-y2)+(y-4)2因?yàn)镼在橢圓上移動(dòng)，所以-1￡y￡1，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)【點(diǎn)睛】1.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求

20、解析幾何最值問(wèn)題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見(jiàn)的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。6.已知△的面積為，（1）設(shè)，求正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（如圖），當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè)（2）設(shè)所求的雙曲線方程為∴，∴又∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的坐標(biāo)是或，所求方程為（借助平面向量，將三角形、圓錐曲線最值、求曲線方程、基本不等式等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，綜合考察學(xué)生應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題的能力）7.如圖所示，設(shè)點(diǎn)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，

21、過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，求△的面積的最大值，并求出此時(shí)直線的方程。分析：，設(shè)，，則設(shè)直線的方程為代入橢圓方程得即令，∴，（）利用均值不等式不能區(qū)取“＝”∴利用（）的單調(diào)性易得在時(shí)取最小值在即時(shí)取最大值為，此時(shí)直線的方程為（三角形問(wèn)題、直線方程、最值問(wèn)題、函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用）（從特殊入手，求出定點(diǎn)（定值），再證明這個(gè)點(diǎn)（值）與變量無(wú)關(guān)。）8．設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.【專家

22、解答】（1）法1：直線l過(guò)點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.①記A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(x1,y1)、(x2,y2)是方程組②的解.將①代入②并化簡(jiǎn)得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0③當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y