圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、最值與范圍問(wèn)題

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1、第3講　圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、最值與范圍問(wèn)題高考定位圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值、最值與范圍問(wèn)題是高考必考的問(wèn)題之一，主要以解答題形式考查，往往作為試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，試題難度較大，對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、計(jì)算能力有較高的要求.真題感悟考點(diǎn)整合1.定值、定點(diǎn)問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)，就是要求的定點(diǎn).解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參

2、數(shù)影響的量.2.圓錐曲線中最值問(wèn)題主要是求線段長(zhǎng)度的最值、三角形面積的最值等.3.求解圓錐曲線中的范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是選取合適的變量建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系.該問(wèn)題主要有以下三種情況：(1)距離型：若涉及焦點(diǎn)，則可以考慮將圓錐曲線定義和平面幾何性質(zhì)結(jié)合起來(lái)求解；若是圓錐曲線上的點(diǎn)到直線的距離，則可設(shè)出與已知直線平行的直線方程，再代入圓錐曲線方程中，用判別式等于零求得切點(diǎn)坐標(biāo)，這個(gè)切點(diǎn)就是距離取得最值的點(diǎn)，若是在圓或橢圓上，則可將點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式設(shè)出，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解.(2)斜率、截距型：一般解法是將直線方程代入圓錐曲線方程中，利用判別式列出對(duì)應(yīng)的不

3、等式，解出參數(shù)的范圍，如果給出的只是圓錐曲線的一部分，則需要結(jié)合圖形具體分析，得出相應(yīng)的不等關(guān)系.(3)面積型：求面積型的最值，即求兩個(gè)量的乘積的范圍，可以考慮能否使用不等式求解，或者消元轉(zhuǎn)化為某個(gè)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)方法求解.探究提高如果要解決的問(wèn)題是一個(gè)定點(diǎn)問(wèn)題，而題設(shè)條件又沒(méi)有給出這個(gè)定點(diǎn)，那么，我們可以這樣思考：由于這個(gè)定點(diǎn)對(duì)符合要求的一些特殊情況必然成立，那么我們根據(jù)特殊情況先找到這個(gè)定點(diǎn)，明確解決問(wèn)題的目標(biāo)，然后進(jìn)行推理探究，這種先根據(jù)特殊情況確定定點(diǎn)，再進(jìn)行一般性證明的方法就是由特殊到一般的方法.探究提高定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊

4、值來(lái)確定“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的.定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類(lèi)似，在求定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定值顯現(xiàn).探究提高若一個(gè)函數(shù)式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，則可以通過(guò)換元的方法把其轉(zhuǎn)化為分母為二次式、分子為一次式的函數(shù)式，這樣便于求解此函數(shù)式的最值.1.解答圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問(wèn)題，從三個(gè)方面把握：(1)從特殊開(kāi)始，求出定值，再證明該值與變量無(wú)關(guān)：(2)直接推理、計(jì)算，在整個(gè)過(guò)程中消去變量，得定值；(3)在含有參數(shù)的曲線方程

5、里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項(xiàng)里面分離出來(lái)，并令其系數(shù)為零，可以解出定點(diǎn)坐標(biāo).2.圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮：①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；④利用基

6、本不等式求出參數(shù)的取值范圍；⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.