高考數(shù)學(xué)探討圓錐曲線的定值、最值與定點(diǎn)問題

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1、探討圓錐曲線的定值、最值與定點(diǎn)問題圓錐曲線中的最值與定值問題，是解析幾何中的綜合問題，是一種典型題型,將函數(shù)與解析融為一體，要求有較強(qiáng)的綜合能力，例析如下。一、定值問題解決定值問題的方法：將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無關(guān)。例1A、B是拋物線Cp>0)上的兩點(diǎn)，且OA丄OB,求證:(1)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之枳，縱坐標(biāo)之枳分別都是定值；(2)直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)。證明：(1)設(shè)A(x,,y,)>B(x2,y2),則y22=2px2。???乃2?V=2px'?2px2=4p2x{x2=-4

2、p2}^2，???=-4p2為定值，X,X2=—>^2=4p2也為定值。(2)...y22-y,2=(y2+y,)(y2-y,)=2p(x,-x2),Vx,x2,―=2px2-^>i+y2/.直線AB的方程為:2/?y4/r>I+.??直線AB過定點(diǎn)(2p,0)。MO2例2已知拋物線方程為y=-lx2+/i,點(diǎn)A、B及點(diǎn)P(2,4)都在拋物線上,直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)。(1)試證明直線AB的斜率為定值；(2)當(dāng)直線AB的縱截距為m(m〉0)時(shí)，求APAB的面枳的最大值。分析：這類問題一般運(yùn)算量大，要注意函數(shù)

3、與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的靈活運(yùn)用。解析：(1)證明：把P(2,4)代入y=-丄x2+/?,得h=6。所以拋物線方程為：2y-4=k(x-2)y—4=k(x—2),由、i7,消去y，得x2+2Ax-4/c-4=0oy=——r+6I2_-4k-4所以—一2一-2k-2因?yàn)镻A和PB的傾角互補(bǔ)，所以yA=_2眾2+4眾+4kpB=—kpA=一々，用一k代k，得^=2";2,所以yB=-2k2^-4k+4XA~XR-2Z:2-4Z:+4Sk,2k-2-(-2k-2)4ky=2x+m(2)設(shè)AB的方程為y=2

4、x+m(m〉0),由0,解得0

5、2x23+m

6、=親,所以，S2腳=^

7、AB

8、2.6?2=^.40(8-m).^=2m2(8-m)=8(去m)(去m)(8-m)<8*(

9、)3=

10、y,所以，S□以一當(dāng)且僅當(dāng)丄m=8-m,即m=■時(shí)，等號(hào)成立，故APAB面枳最大值為64。239二、最值問題解決最值的方法：一是

11、代數(shù)法，建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，注意到自變量的范圍；二是幾何法，考慮某些量的幾何特征及意義，利用圖形性質(zhì)求解。22例3求橢圓i+L=l上的點(diǎn)P到直線L:x—2y—12=0的最大距離和最小1612距離。方法1:(求切點(diǎn))設(shè)與L平行的直線與橢圓相切于點(diǎn)P(xQ,y0),由橢圓方程3x2+4y2=48得此切線方程3x0x+4y0)，=48,???女：丄，???-^=丄，即24y023xo+2)，o=O(1),又3%2+4凡2=48(2),解(1)(2)得切點(diǎn)的坐標(biāo)為P,(—2,3)P2(2,—3)。設(shè)點(diǎn)P到

12、直線L的距離為d,由點(diǎn)到直線的距離公式，得6/max=4^5,方法2:(判別式法)設(shè)與L平行的橢圓的切線方程為x—2y+m=0,代入橢圓方程，消去x得16/-12my+3m2—48=0,由△=(-12m)2-4x16x(3m2-48)=0得m2=64，m=±8o當(dāng)m=8時(shí)，切線方程x—2y+8=0,此時(shí)；y12/772x163,切點(diǎn)為P,（一2,3）12m當(dāng)m=—8時(shí)，切線方程x—2y—8=0,此時(shí)y==切點(diǎn)為P2(2,—3)設(shè)點(diǎn)P到直線L的距離為d,由點(diǎn)到直線的距離公式，得＜職=4禮方法3:(參數(shù)法)設(shè)橢圓上任

13、意一點(diǎn)P(4cos6,2V3sin6),它到直線L的距離為扣^^^=宇

14、81分。4

15、,時(shí)，

16、設(shè)C(b,—1),由于ZBAC=90°,A(0,3),所以kAC=—ab8kAB*^c=-7=-1，ab=-8oabS-AliC=丄

17、

18、?

19、AC

20、=丄a/“2+4a//?2+16=1a/W+16^z2+4Z?2+64=222128+16(672+^)28，當(dāng)且僅當(dāng)即“=±2，/?=不4時(shí)AABC面積的2vcrtr值最大為8。三、定點(diǎn)問題處理這類問題有兩種方法：一是從特殊入