就得到四階龍格庫塔法復(fù)習(xí)課程.ppt

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1、就得到四階龍格庫塔法2.1.2描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型1、微分方程形式2、傳遞函數(shù)形式3、狀態(tài)空間表達(dá)式一階微分方程組2.1.2描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型4、零極點(diǎn)增益形式模型轉(zhuǎn)換：掌握：1、傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型2、結(jié)構(gòu)圖形式轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型例如：2.1.2描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型例：2-3-2歐拉法（Eulermethod）由以上推導(dǎo)得歐拉遞推公式：h為步長二、泰勒展開x(t)取前兩項(xiàng)，舍去高次項(xiàng)，寫成差分方程得歐拉遞推公式：2-3-2歐拉法（Eulermethod）三、截斷誤差歐拉法是由泰勒級數(shù)截斷h2以上

2、的高階項(xiàng)而得到的，把截斷項(xiàng)稱為截斷誤差。歐拉法的截斷誤差與h2同為一個數(shù)量級，具有一階精度。當(dāng)h減小時,截斷誤差會減少。（注：截斷誤差為o（hp+1)時，稱為具有p階精度）例：用歐拉法求解下面微分方程，取h=0.2歐拉法數(shù)值解：精確解：1.000000000000001.000000000000001.000000000000000.960789439152320.920000000000000.852143788966210.772800000000000.697676326071030.587328000000000.52

3、7292424043050.399383040000000.367879441171440.239629824000000.236927758682122-3-3梯形法（RK2）用梯形面積代替曲邊梯形的面積。其中k2是有歐拉法估計得到。2-3-4四階龍格庫塔法（thefourth-orderRunge-KuttaMethod)K1,K2,K3,K4,稱為四階龍格庫塔系數(shù)。四階龍格庫塔法取了泰勒級數(shù)的前五項(xiàng)之和得到，截斷誤差O（h5),具有四階精度多取幾個點(diǎn)，然后將其斜率加權(quán)平均得一等效斜率，就得到四階龍格庫塔法。2-3-5幾

4、種數(shù)值積分法的分析1、xn+1=xn+步長*各點(diǎn)斜率的加權(quán)平均2、精度取決于步長h及階次p。3、本次計算只用到前一次的計算結(jié)果，屬單步法。單步法優(yōu)點(diǎn)：占用存貯空間少，能自啟動（從初值），可變步長。2-3數(shù)值積分法的穩(wěn)定性一、起源數(shù)值積分法是一種近似的求解微分方程的方法。在反復(fù)的遞推運(yùn)算中將引入誤差，若誤差的積累越來越大，將使一個原本穩(wěn)定的系統(tǒng)，得到的仿真結(jié)果卻不穩(wěn)定。例如：有一個微分方程其解析解：歐拉法的遞推公式為：2-3數(shù)值積分法的穩(wěn)定性可見：當(dāng)

5、1-30h

6、>1時，遞推結(jié)果將是發(fā)散的。當(dāng)0

7、（收斂的）二、穩(wěn)定性的測試方程詳細(xì)討論數(shù)值積分穩(wěn)定性問題是非常復(fù)雜的，本節(jié)介紹一種判定算法穩(wěn)定性的常用方法。通常用一個簡單的一階常系數(shù)微分方程來考察算法的穩(wěn)定性。如果一個算法連這樣簡單的方程都不能適應(yīng)，則不能保證其絕對穩(wěn)定性。其中，?為一復(fù)數(shù)，?=?+j??<0,（即原系統(tǒng)穩(wěn)定）2-3數(shù)值積分法的穩(wěn)定性三、用測試方程考察歐拉法的穩(wěn)定性當(dāng)

8、1+h?

9、<=1時，計算穩(wěn)定。2、求其穩(wěn)定邊界設(shè)h?=x+jy,由

10、1+h?

11、<=1得:

12、1+x+jy

13、<=1穩(wěn)定邊界為：(1+x)2+y2=1當(dāng)?為負(fù)實(shí)數(shù)時，步長的穩(wěn)定區(qū)間為：0

14、2/

15、?

16、2-3數(shù)值積分法的穩(wěn)定性四、龍格庫塔法的計算穩(wěn)定性1、RK22、RK42-4數(shù)值積分法的選擇原則從精度、速度、穩(wěn)定性三個角度考慮一、計算精度數(shù)值積分存在兩種誤差。1、截斷誤差：舍去泰勒級數(shù)的高階項(xiàng)形成的。p?截斷誤差?h?截斷誤差?2、舍入誤差由于計算機(jī)的字長有限引起的，會隨著計算次數(shù)的增加而積累。p?計算量?舍入誤差?h?計算量?舍入誤差?2-4數(shù)值積分法的選擇原則如右圖示，兩種誤差對步長的要求是矛盾的，最好選擇在h0附近。一般情況下選：Tmin/20<=h<=Tmin/5系統(tǒng)響應(yīng)快的，步長要小。二、計算速度h?計算速度

17、加快。高階算法，計算速度慢。三、穩(wěn)定性選擇合適的步長及數(shù)值積分法，保證仿真計算穩(wěn)定。2-5常微分方程數(shù)值求解第九周實(shí)驗(yàn):用四階龍格庫塔法求解VarderPol微分方程降階，將其變換為一階微分方程組，設(shè)x1=x,x2=dx/dt得：此課件下載可自行編輯修改，僅供參考！感謝您的支持，我們努力做得更好！謝謝