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1、第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)以彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為力學(xué)模型，討論單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有振動(dòng)和自由振動(dòng)，有阻尼的系統(tǒng)根據(jù)阻尼的大小分為過(guò)阻尼、臨界阻尼及欠阻尼三種狀態(tài)固有振動(dòng)的表現(xiàn)形式為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其固有頻率的計(jì)算方法有靜變形法、能量法、瑞利法以及等效剛度、等效質(zhì)量法1單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)一、自由振動(dòng)的概念：2動(dòng)力學(xué)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)以彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為力學(xué)模型3動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總指向物體平衡位置的力稱(chēng)為恢復(fù)力。物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動(dòng)稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)：令x為位移，以質(zhì)量塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)受干擾時(shí)，根據(jù)牛頓第二
2、定律，有：4動(dòng)力學(xué)在靜平衡時(shí)有：振動(dòng)微分方程為：方程的通解為：5動(dòng)力學(xué)6二、單自由度系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解動(dòng)力學(xué)對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以x為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開(kāi)始量?。瑒t自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程必將是：a,c是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令則自由振動(dòng)的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：方程的通解解為：7動(dòng)力學(xué)或：C1，C2由初始條件決定這里A和φ與C1和C2的關(guān)系為：8動(dòng)力學(xué)設(shè)t=0時(shí)，則可求得：910動(dòng)力學(xué)三、自由振動(dòng)的特點(diǎn)：A——物塊離開(kāi)平衡位置的最大位移，稱(chēng)為振幅。?nt+?——相位，決定振體在某瞬時(shí)t的位置?——初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置。T——周期，每振動(dòng)一次
3、所經(jīng)歷的時(shí)間。f——頻率，每秒鐘振動(dòng)的次數(shù)，f=1/T?！逃蓄l率，振體在2?秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。反映振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。11動(dòng)力學(xué)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn)是：(2)振幅A和初相位?取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件(初位移和初速度)；(1)振動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；(3)周期T和固有頻率僅決定于系統(tǒng)本身的固有參數(shù)(m,k,I)。四、其它1.如果系統(tǒng)在振動(dòng)方向上受到某個(gè)常力的作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律，如振動(dòng)頻率、振幅和相位等。12固有頻率及固有周期只與振動(dòng)系統(tǒng)的彈簧常量k和物塊的質(zhì)量m有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無(wú)關(guān)，所以稱(chēng)為固有頻率。固有周
4、期固有圓頻率，為了方便也稱(chēng)為固有頻率，是系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)是否振動(dòng)無(wú)關(guān)13固有頻率及固有周期對(duì)于不易得到剛度或質(zhì)量的系統(tǒng)，若能測(cè)出靜變形，可用上式計(jì)算固有頻率。1415重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置，則t=0時(shí)有:其振動(dòng)規(guī)律為：解：16其振動(dòng)規(guī)律為：因?yàn)椋焊鶕?jù)：17繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和可見(jiàn)動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半，由于因而為了降低動(dòng)張力，應(yīng)該降低系統(tǒng)的剛度18例2.2圖示的直升機(jī)槳葉經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)出其質(zhì)量為m，質(zhì)心C距鉸中心O距離為l。現(xiàn)給予槳葉初始擾動(dòng)，使其微幅擺動(dòng)，用秒表測(cè)得多次擺動(dòng)循環(huán)所用的時(shí)間，除以循環(huán)
5、次數(shù)獲得近似的固有周期，試求槳葉繞垂直鉸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。19解：取圖示坐標(biāo)系，將直升機(jī)槳葉視為一物理擺，根據(jù)繞固定鉸的動(dòng)量矩定理得到其擺動(dòng)微分方程20例2.3一個(gè)質(zhì)量為m的物體從h高處自由落下，與一根抗彎剛度為EJ、長(zhǎng)L的簡(jiǎn)支梁作完全非彈性碰撞，不計(jì)梁的質(zhì)量，求梁的自由振動(dòng)的頻率和最大撓度。Mx21由材料力學(xué)可知簡(jiǎn)支梁在重物mg作用下的靜變形為：Mx解：故自由振動(dòng)頻率為：以梁受重時(shí)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以撞擊時(shí)為0時(shí)候則自由振動(dòng)振幅為：梁的最大撓度為：2223241.由系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.能量法：動(dòng)力學(xué)§2求系統(tǒng)固有頻率的方法：集中質(zhì)量在全部重力作用下的靜變形由Tma
6、x=Umax,求出3.瑞利法：4.等效剛度法:25動(dòng)力學(xué)無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速度為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢(shì)能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)）。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值。如：2.能量法：26動(dòng)力學(xué)能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率來(lái)得更為簡(jiǎn)便的一種方法。27動(dòng)力學(xué)例1圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無(wú)側(cè)向擺動(dòng)，且輪子與繩子間無(wú)滑動(dòng)，不計(jì)繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為M，重物質(zhì)量m，試列出系統(tǒng)微幅振動(dòng)微分方程，求出其固有頻率。28動(dòng)力學(xué)解：用機(jī)械能守恒定
7、律以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）以平衡位置為計(jì)算勢(shì)能的零位置，并注意輪心位移x時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)2x因平衡時(shí)29動(dòng)力學(xué)由T+U=有：對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，再消去公因子，得30動(dòng)力學(xué)例2鼓輪：質(zhì)量M，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)半徑?，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑r，彈簧剛度，重物質(zhì)量為m,不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長(zhǎng)。求系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。31動(dòng)力學(xué)解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：32動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的最大勢(shì)能為：33動(dòng)力學(xué)設(shè)則有根據(jù)Tmax=Umax,解得34例半徑為
