機械振動-第02課 單自由度系統(tǒng)：無阻尼自由振動

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1、第二章單自由度系統(tǒng)前課回顧機械振動系統(tǒng)的基本元件及其特性？簡諧振動的特點？主要內(nèi)容引言運動微分方程固有頻率的計算方法等效質(zhì)量與等效剛度練習主要內(nèi)容引言運動微分方程固有頻率的計算方法等效質(zhì)量與等效剛度練習引言單自由度線性振動系統(tǒng)是最簡單的振動系統(tǒng)，可以用一個常系數(shù)的二階常微分方程描述它的運動規(guī)律。在實際應用中把結構簡化成一個單自由度系統(tǒng)可以得到初步的、有時是工程上滿意的結果。在理論分析中，利用它的直觀、簡單，可以把握振動系統(tǒng)的許多基本性質(zhì)。同時，單自由度系統(tǒng)的振動理論和方法又是多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體系統(tǒng)振動理論和方法的基礎。主要內(nèi)容引言運動微分方

2、程固有頻率的計算方法等效質(zhì)量與等效剛度練習運動微分方程在不考慮系統(tǒng)振動時能量耗散的條件下，單自由度系統(tǒng)模型可以簡化為如右圖所示的無阻尼模型。圖中質(zhì)量塊只能沿水平方向運動。運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律，依照下面步驟可列出系統(tǒng)的運動微分方程：取定一個坐標系描述系統(tǒng)的運動；設質(zhì)量塊沿坐標正向有一位移，對質(zhì)量塊進行受力分析；按牛頓第二定律建立質(zhì)量塊的運動方程；確定系統(tǒng)的初始條件。?íì===+002n)0(,)0(0xxxxxx&&&&w運動微分方程單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動時的運動微分方程是一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程。常系數(shù)的原因是系統(tǒng)的質(zhì)量、

3、剛度是與時間無關的常數(shù)；齊次是因為自由振動的激勵為零，振動是由初始條件引起的；系統(tǒng)的動平衡由分別與加速度和位移成線性關系的慣性力和彈性力的矛盾運動決定。02n=+xxw&&（1）求解方程(1)，可以得到由初始條件，可得靜載荷對振動系統(tǒng)的影響對于線性振動系統(tǒng)系統(tǒng)所受靜載荷影響平衡位置，但不影響系統(tǒng)的動力學特性合理選擇坐標系可以簡化系統(tǒng)的運動方程所謂合理選擇坐標系一般是指將坐標原點選在平衡位置。單自由度系統(tǒng)自由振動的主要特性單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動是簡諧振動，振幅、初相位決定于初始條件和系統(tǒng)得剛度、質(zhì)量。運動的中點就是系統(tǒng)的平衡位置。振動頻率只

4、與系統(tǒng)的剛度、質(zhì)量有關。通常稱ω和f為系統(tǒng)的固有頻率，這是最重要的參數(shù)。當系統(tǒng)的質(zhì)量不變而剛度增加時，系統(tǒng)的固有頻率增高；當系統(tǒng)的剛度不變而質(zhì)量增加時，固有頻率降低。振動得以維持的原因是系統(tǒng)有儲存動能的慣性元件和儲存勢能的彈性元件。主要內(nèi)容引言運動微分方程固有頻率的計算方法等效質(zhì)量與等效剛度練習固有頻率的計算方法振動系統(tǒng)的固有頻率是最重要的振動參數(shù)。正確、簡潔地測定固有頻率是確定系統(tǒng)振動特性的基本任務之一。列出系統(tǒng)運動微分方程進而求出系統(tǒng)固有頻率是一種常用的方法，這需要知道系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量。還有其它地方法可用來求單自由度系統(tǒng)地固有頻率：靜態(tài)位

5、移法（單位加速度法）能量法靜態(tài)位移法（單位加速度法）使用靜態(tài)位移法計算固有頻率P18.例2.2能量法使用能量法計算固有頻率P18.例2.3系統(tǒng)勢能為：系統(tǒng)動能為：由得主要內(nèi)容引言運動微分方程固有頻率的計算方法等效質(zhì)量與等效剛度練習等效質(zhì)量與等效剛度離散系統(tǒng)模型約定，系統(tǒng)的質(zhì)量集中在慣性元件，彈性元件無質(zhì)量。實際上，沒有無質(zhì)量的彈性元件。當彈性元件的質(zhì)量比系統(tǒng)總質(zhì)量小得多時，略去彈性元件的質(zhì)量對系統(tǒng)的振動特性計算結果影響不大。彈性元件的質(zhì)量占系統(tǒng)質(zhì)量的相當部分時，略去它會使計算得到的固有頻率值偏高。等效質(zhì)量與等效剛度如果彈性元件有質(zhì)量，則它在振

6、動中不但存儲勢能，也能存儲動能。系統(tǒng)的總動能應該是慣性元件儲存的動能加上彈性元件儲存的動能。因此，可以采用能量等效的方法，加大慣性元件的數(shù)值，使慣性元件的動能等于系統(tǒng)的總動能，再把彈性元件的質(zhì)量略去。慣性元件數(shù)值加大的部分通常稱為系統(tǒng)的附加質(zhì)量，附加質(zhì)量的動能等于彈性元件的動能。通常稱系統(tǒng)在動能意義下的質(zhì)量為系統(tǒng)的等效質(zhì)量，它并不等于系統(tǒng)慣性元件的質(zhì)量加上其它元件的質(zhì)量。等效質(zhì)量的計算步驟假定系統(tǒng)的速度分布模型（模式），一般的速度分布可以取為與變形分布模型一致；以某一特定點的速度為參量計算系統(tǒng)的動能；從系統(tǒng)動能表達式中提出該點速度平方的1/2

7、，剩余的部分即為系統(tǒng)相對于該點的等效質(zhì)量。計算彈簧振子系統(tǒng)的等效質(zhì)量P19.例2.4P21.例2.5作業(yè)習題2.7,2.10,2.15