短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型.ppt

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1、第六章短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型[知識(shí)要點(diǎn)]1、短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型對(duì)于,其中N表示保險(xiǎn)期內(nèi)所有承保保單發(fā)生索賠的次數(shù)隨機(jī)變量，Xi表示第I次發(fā)生理賠時(shí)的理賠額隨機(jī)變量，S為保險(xiǎn)期內(nèi)的理賠總額隨機(jī)變量。Xi對(duì)不同的i是獨(dú)立同分布的，N與各Xi是獨(dú)立的。稱此模型為短期聚合風(fēng)險(xiǎn)模型。2、理賠次數(shù)和理賠額的分布（1）泊松分布的定義、分布列、期望與方差、矩母函數(shù)：（2）負(fù)二項(xiàng)分布的定義、分布列、期望與方差、矩母函數(shù)。負(fù)二項(xiàng)分布可以看作是泊松分布的一種推廣，假設(shè)泊松參數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，且有密度函數(shù)f(x)，由全概率公式有：而：特別地，當(dāng)λ的密度為，x＞0時(shí)

2、，N服從參數(shù)r=a,p=β/1+β的負(fù)二項(xiàng)分布。（3）S的分布問題假設(shè)S的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為F（x）和f(x),則：除用卷積方法之外，還可以用矩母函數(shù)法及逆轉(zhuǎn)公式來求S的分布，由矩母函數(shù)的定義有：其中X是與各Xi同分布的隨機(jī)變量。也就是說，若知道Xi和N的矩母函數(shù)，就可計(jì)算出S的矩母函數(shù)，而4、復(fù)合泊松分布在聚合風(fēng)險(xiǎn)中，當(dāng)N服從泊松分布時(shí)，S的分布就稱為復(fù)合泊松分布。這樣：E（S）=E（X）?E（N）=λ?E（X）其中λ為泊松參數(shù)。關(guān)于復(fù)合泊松分布有如下的幾個(gè)定理和規(guī)律：（1）如果S1，S2，…，Sm是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Si

3、服從參數(shù)為λi的復(fù)合泊松分布，理賠額的分布為Pi(x),i=1,2,…,m,則服從參數(shù)為的復(fù)合泊松分布，且個(gè)別理賠額分布為：（2）對(duì)于一個(gè)復(fù)合泊松分布隨機(jī)，可以分解為：個(gè)別理賠額的分布列為：Xx1x2…xmPp1p2…pm則N1，N2，…，Nm相互獨(dú)立且Ni服從參數(shù)為λi=λpi的泊松分布，其中λ為S的泊松參數(shù)。對(duì)于此定理，若xi僅取正整數(shù)值，則理賠總額S的密度函數(shù)為：對(duì)于此定理，還有更普遍的推廣，也就是說在聚合風(fēng)險(xiǎn)模型中，若理賠額只取正整數(shù)，理賠次數(shù)N的分布滿足：(n=1,2,…)（3）在復(fù)合泊松分布中，若保險(xiǎn)標(biāo)的損失隨機(jī)變量為X，

4、保險(xiǎn)合同有一個(gè)免賠額d，即，X>d,X≤d是其真正的理賠額隨機(jī)變量，泊松參數(shù)為λ，則帶免賠的理賠總額S仍是復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)變?yōu)棣?P（x>d),個(gè)別理賠額的分布密度函數(shù)為：5、聚合理賠量的近似模型（1）正態(tài)近似定理如果S是復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)為λ，個(gè)別理賠額的數(shù)學(xué)期望μ與方差σ2有界，則：定理如果S服從復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布，參數(shù)為r,p,個(gè)別理賠額隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差分別為有界的μ與σ2，則：（2）平移伽馬近似定義其中，g（x）為Γ(α,β)分布的概率密度函數(shù)，h（x）為相應(yīng)的平移x0個(gè)單位的平移伽馬分布的概率密度函數(shù)。由定義知

5、平移伽馬分布有三個(gè)參數(shù)x0，α,β，如果能定出這三個(gè)參數(shù)，這個(gè)分布也就已知。求解下面的方程組可解決這一問題：[重點(diǎn)及難點(diǎn)解析]本章的重點(diǎn)內(nèi)容是復(fù)合泊松分布，包括當(dāng)個(gè)別理賠額是正整數(shù)時(shí)的復(fù)合泊松分布，另外，理賠總額S分布的正態(tài)近似及平移伽馬近似也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。當(dāng)然，對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容可以進(jìn)行引申，譬如當(dāng)索賠次數(shù)分布為負(fù)二項(xiàng)分布、幾何分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布等；更簡單的還有二點(diǎn)分布，這時(shí)聚合風(fēng)險(xiǎn)模型與個(gè)別風(fēng)險(xiǎn)模型有相通之處。當(dāng)然，個(gè)別索賠額的分布形式更加多樣，特別是當(dāng)個(gè)別索賠額隨機(jī)變量的取值僅為正整數(shù)值時(shí)，是本章的難點(diǎn)。下面看幾個(gè)例子，以便

6、讓讀者有一些感性認(rèn)識(shí)。例1一組一年期的定期壽險(xiǎn)組合，每份保單的保險(xiǎn)金額都相同為B個(gè)單位元，索賠次數(shù)N服從泊松分布，參數(shù)為λ，以下陳述中哪一項(xiàng)是不正確的？A、E(S)=E(N)?B=λBB、Var(S)=Var(N)?B2C、S的可能取值為0，B，2B，…D、E(X)=B,Var(X)=B2E、P(S≤Bx)=P(N≤x)解由聚合風(fēng)險(xiǎn)模型有：E(S)=E(N)E（X）=λ?B所以A正確。Var(S)=E2（X）Var(N)+E（N）?Var(X)=B2?λ所以B正確。由于每次理賠額均為常數(shù)B，所以在保險(xiǎn)期內(nèi)索賠總額僅取B的倍數(shù)，所以C正

7、確。依題意有：P（X=B）=1所以E（X）=BM，Var(X)=0所以D錯(cuò)誤。因?yàn)镾=BN所以P（S≤BX）=P（BN≤BX）=P（N≤X）所以E正確。所以選D。例2保險(xiǎn)人承保了保險(xiǎn)金額為1萬元的一年定期意外險(xiǎn)保險(xiǎn)單1000份，假設(shè)投保人出險(xiǎn)的概率是獨(dú)立的，每個(gè)被保險(xiǎn)人索賠的概率為0.0002，求索賠總額超過12000元的概率。以上兩道例題有相似之處，理賠額均為常數(shù)，這樣索賠總額S的E（S）為：例3設(shè)Si，i=1，2，…，n,是一系列相互獨(dú)立的且具有相同分布的復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布，負(fù)二項(xiàng)分布的參數(shù)分別為K和P，個(gè)別索賠額的密度函數(shù)為?(x)

8、,令：，下面有關(guān)S的陳述哪一項(xiàng)是錯(cuò)誤的？A、S仍是復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布B、S的個(gè)體索賠額的密度函數(shù)仍為?(x)C、復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布具有可加性所以S的分布仍是復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布，參數(shù)為nk和P，個(gè)別索賠額的密度函數(shù)仍為?(x)，因此A