隨機(jī)過程及應(yīng)用：預(yù)備知識：特征函數(shù).ppt

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1、一．特征函數(shù)的定義及例子設(shè)X,Y是實(shí)隨機(jī)變量,復(fù)隨機(jī)變量Z=X+jY的數(shù)學(xué)期望定義為特別預(yù)備知識5特征函數(shù)注1）costx和sintx均為有界函數(shù),故總存在.2)是實(shí)變量t的函數(shù).X是實(shí)隨機(jī)變量求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定義5.1設(shè)X是定義在(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量,稱為X的特征函數(shù).關(guān)于X的分布函數(shù)的富里埃-司蒂階變換當(dāng)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,則當(dāng)X是離散型隨機(jī)變量,則Ex.1單點(diǎn)分布Ex.2兩點(diǎn)分布Ex.3二項(xiàng)分布Ex.4泊松分布Ex.5指數(shù)分布Ex.6均勻分布Ex.7正態(tài)分布N(a,σ2)特別對正態(tài)分布N(0,1)，有證明二．特征函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)5.1隨機(jī)變量X的特征函數(shù)滿足

2、：證許瓦茨不等式(6.1.3)性質(zhì)5.2隨機(jī)變量X的特征函數(shù)為則Y=aX+b的特征函數(shù)是a,b是常數(shù).Ex.8設(shè)η～N(a,σ2),求其特征函數(shù).解設(shè)X～N(0,1),有Y=σX+a,且證性質(zhì)5.3隨機(jī)變量X的特征函數(shù)在R上一致連續(xù).使時(shí),對t一致地有一般，性質(zhì)5.4特征函數(shù)是非負(fù)定的函數(shù)，即對任意正整數(shù)n,任意復(fù)數(shù)z1,z2,…,zn,及證注以上性質(zhì)中一致連續(xù)性，非負(fù)定性是本質(zhì)性的.定理5.1(波赫納—辛欽)函數(shù)為特征函數(shù)的充分必要條件是在R上一致連續(xù),非負(fù)定且定理5.2若隨機(jī)變量X的n階矩存在,則X的特征函數(shù)的k階導(dǎo)數(shù)存在,且下定理給出了特征函數(shù)與矩的關(guān)系注逆不真.證僅

3、證連續(xù)型情形設(shè)X的概率密度為f(x)，有令t=0，得故Ex.9隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布解故同理，可進(jìn)一步計(jì)算隨機(jī)變量X的k階中心矩三．反演公式及惟一性定理由隨機(jī)變量X的分布函數(shù)可惟一確定其特征函數(shù)：問題能否由X的特征函數(shù)唯一確定其分布函數(shù)？？從而定理5.3（反演公式）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)和特征函數(shù)分別為F(x)和則對F(x)的任意連續(xù)點(diǎn)x1,x2,（x1

4、，概率密度與特征函數(shù)互為富氏變換.則推論3隨機(jī)變量X是離散型的,其分布律為反演公式證設(shè)有Ex.9隨機(jī)變量X在[]上服從均勻分布,Y=cosX,利用特征函數(shù)求Y的概率密度.解X的概率密度為Y的特征函數(shù)為令根據(jù)特征函數(shù)與分布函數(shù)的惟一性定理,知隨機(jī)變量Y的概率密度為Ex.10已知隨機(jī)變量X的特征函數(shù)為試求X的概率分布.解因根據(jù)特征函數(shù)的惟一性定理,知隨機(jī)變量X的分布律為X-202p1/41/21/4四．多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義5.4二維隨機(jī)變量(X,Y)的特征函數(shù)定義為連續(xù)型注多維隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義見P247.離散型例(X,Y)服從二維正態(tài)分布則其特征函數(shù)為性質(zhì)5.5二維

5、隨機(jī)變量(X,Y)的特征函數(shù)滿足以下性質(zhì)1.對任意t1,t2∈R,有2.3.在實(shí)平面上一致連續(xù).4.性質(zhì)5.6設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的特征函數(shù)為則1.隨機(jī)變量的特征函數(shù)為2.Z=aX+bY+c的特征函數(shù)為特別有證Ex.11設(shè)(X1,X2)服從二維正態(tài)分布,且E(Xk)=k,k=1,2.記求Y=X1+X2的特征函數(shù).解故Y=X1+X2～N(3,12).性質(zhì)5.7分布函數(shù)　　與恒等的充分必要條件是它們的特征函數(shù)與恒等..定理5.3隨機(jī)向量相互獨(dú)立的充要條件是其特征函數(shù)滿足證明參見P249.在上式中特別取ti=t，i=1,2,…,n,有推論1設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,令,則Y的特征函

6、數(shù)為注意：定理5.3與推論1的區(qū)別？練習(xí)：X~U(0,1),P{Y=0}=P{Y=1}=1/2,X,Y相互獨(dú)立，試確定X+Y的分布？Ex.12隨機(jī)變量Y～B(n,p),寫出其特征函數(shù).解二項(xiàng)分布隨機(jī)變量Y可表示為且Xk～B(1,p),(k=1,2,…,n)相互獨(dú)立,故Y的特征函數(shù)為推論2若隨機(jī)變量相互獨(dú)立同分布,則的特征函數(shù)為Ex.13若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,且Xk～N(0,1),證明也服從N(0,1)分布.證Xk的特征函數(shù)為,則從而由惟一性定理知,Y～N(0,1).