包絡(luò)函數(shù)方法.doc

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1、包絡(luò)函數(shù)方法低維納米結(jié)構(gòu)中電子態(tài)的計(jì)算是一個(gè)基本而重要的問題。一般來說，計(jì)算納米結(jié)構(gòu)中的電子態(tài)有兩種方法，一種是利用第一性原理計(jì)算，第二種是有效質(zhì)量包絡(luò)函數(shù)近似。第一性原理是比較常用的一種方法，它的計(jì)算結(jié)果相對來說比用有效質(zhì)量包絡(luò)函數(shù)近似的結(jié)果更可靠，但是用第一性原理來計(jì)算較大的納米結(jié)構(gòu)(里面含有幾百萬個(gè)原子)是非常困難的，因?yàn)樗枰粋€(gè)超級計(jì)算系統(tǒng)。相比之下，用有效質(zhì)量包絡(luò)函數(shù)近似的方法就比較合適了，在個(gè)人計(jì)算機(jī)上就能實(shí)現(xiàn)，所以Burt提出的包絡(luò)函數(shù)方法被認(rèn)為是描述納米結(jié)構(gòu)電子態(tài)的最有前景的方法。先將包絡(luò)函

2、數(shù)方法的基本理論介紹如下：首先，包絡(luò)函數(shù)方法是在以下近似條件下得到的計(jì)算納米結(jié)構(gòu)電子態(tài)的方法：（1）有限質(zhì)量近似。（2）忽略了真實(shí)離子勢場中迅速變化的震蕩分量，近似認(rèn)為載流子只受外場的作用。（3）保證異質(zhì)結(jié)兩邊的態(tài)具有同樣的對稱性，例如對于GaAs/AlGaAs系統(tǒng)，要保證電子同處于導(dǎo)帶的Γ谷中。此時(shí)，如果晶體中存在微擾勢稱Vp(r)，則電子運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程為：(其中是沒有微擾的晶體哈密頓量。如果微擾勢是個(gè)空間緩變量，且其強(qiáng)度小到不足以引起帶之間的耦合，則電子波函數(shù)可以表示為一個(gè)空間緩變函數(shù)與帶邊波函數(shù)的乘積

3、。稱為包絡(luò)函數(shù)。如果能帶是非簡并的，例如導(dǎo)帶，在導(dǎo)帶底附近的能量可近似用有效質(zhì)m*表示其中是導(dǎo)帶邊能量，則包絡(luò)函數(shù)滿足如果能帶是簡并的，例如價(jià)帶頂，則波函數(shù)可表示為包絡(luò)函數(shù)與帶邊波函數(shù))乘積的線性組合滿足一組聯(lián)立的有效質(zhì)量方程組其中稱為有效質(zhì)量參數(shù)。若無外界的微擾勢，則在每種材料內(nèi)部就電子而一言，有效質(zhì)量方程簡化為一平面波方程。在界面附近，勢是突變的，有效質(zhì)量近似不再成立，暫時(shí)先不考慮這一點(diǎn)。對于兩種材料，它們的有效質(zhì)量和帶邊能量是不同的。引入(z)和有效勢V(z)，其中(z)=(z)=是兩種材料導(dǎo)帶邊能量之

4、差，也就是導(dǎo)帶帶階。包絡(luò)函數(shù)方程可寫為:其中方程第一項(xiàng)的寫法是為了保證方程的厄米性。在邊界Z0上:如果兩種材料的性質(zhì)相差較大:兩中材料有效質(zhì)量接近的情形電子的包絡(luò)函數(shù)方程為:在有效質(zhì)量包絡(luò)函數(shù)近似下，計(jì)算低維納米結(jié)構(gòu)中的電子態(tài)主要有兩種方法:一是變分法，二是平面波展開法。下面對這兩種方法分別作簡單的介紹。1變分法設(shè)體系的哈密頓算符的本征值由小到大的順序排列為:與這些本征值對應(yīng)的本征函數(shù)是：E0和Ψ0是基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。為簡單起見，我們假定的本征值En是分立的，本征函數(shù)Ψn組成正交歸一系。于是有：設(shè)Ψ是任意

5、一個(gè)歸一化的波函數(shù)，將Ψ按Ψn展開:在夢所描寫的狀態(tài)中，體系能量的平均值是：將前面兩個(gè)式子帶入上式得：由于E0是基態(tài)能量，所以有E0

6、E0。用變分法求體系基態(tài)能量的步驟是:選取含有參量λ的嘗試波函數(shù)Ψ（λ）算出平均能量，然后由求出的最小值。所得結(jié)果就是E0的近似值。2平面波展開法晶體中的電子，在周期性勢場中運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是薛定諤方程的解，它們的波函數(shù)可以按平面波來展開。在周期性納米結(jié)構(gòu)中，我們所選的原胞的邊長就等于平面波的周期。當(dāng)我們用平面波的方法計(jì)算單個(gè)孤立納米結(jié)構(gòu)時(shí)計(jì)算結(jié)果與我們所選原胞的大小和平面波的數(shù)目有關(guān)。在有效質(zhì)量包絡(luò)函數(shù)近似下，計(jì)算低維納米結(jié)構(gòu)中的電子態(tài)通常采用變分法，然而平面展開法與變分法相比有很多優(yōu)點(diǎn)，比如用平面波法可以

7、用來計(jì)算不同形狀納米結(jié)構(gòu)中類氫雜質(zhì)的電子態(tài)，只需改變V(r)，電子的有效質(zhì)量和其它材料參數(shù);這種方法很容易用來研究外場對電子態(tài)的影響或更復(fù)雜的情況等。