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1、四 柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介第一講 坐標(biāo)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系的特征.2.掌握柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系的關(guān)系，并掌握坐標(biāo)間的互化公式.3.能利用柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與空間坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化解決相關(guān)問題.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一 柱坐標(biāo)系答案 空間點(diǎn)的坐標(biāo)都是三個數(shù)值，其中至少有一個是距離.思考 要刻畫空間一點(diǎn)的位置，就距離和角的個數(shù)來說有什么限制？梳理 柱坐標(biāo)系的概念(1)定義：建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，它在平面Oxy上的射影為Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo).這時點(diǎn)P的位置可用有序數(shù)組(z∈
2、R)表示，這樣，我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(ρ，θ，z)之間的一種對應(yīng)關(guān)系，把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(ρ，θ，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作，其中____________________.(ρ，θ，z)ρ≥0,0≤θ<2π，z∈RP(ρ，θ，z)(2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與柱坐標(biāo)(ρ，θ，z)之間的變換公式為x=______，y=______，z=___.zρcosθρsinθ思考 要刻畫空間一點(diǎn)的位置，在空間直角坐標(biāo)系中，用三個距離來表示，在柱坐標(biāo)系中，用兩個距離和一個角來表示，那么，能否用兩個角和一個距離來表示.知識點(diǎn)二 球坐標(biāo)系答案 可以.梳理
3、 球坐標(biāo)系的概念(1)定義：建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記
4、OP
5、＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時所轉(zhuǎn)過的最小正角為θ.這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組表示.這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(r，φ，θ)之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系，把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組(r，φ，θ)叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記作，其中.r，φ，θr≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2πP(r，φ，θ)(2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，φ，θ)之間的變換關(guān)系為x=_________，y=___
6、______，z=_____.rcosφrsinφcosθrsinφsinθ題型探究例1(1)已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(－1，，4)，求它的柱坐標(biāo)；類型一 柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化解答(2)已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，求它的直角坐標(biāo).解答反思與感悟(1)由直角坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)求柱坐標(biāo)，可以先設(shè)出點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)，代入變換公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝，求θ，在求θ的時候特別注意角θ所在的象限，從而確定θ的取值.(2)點(diǎn)的柱坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的豎坐標(biāo)相同.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(0,1,2)，求它的柱坐標(biāo)；解答(2)已知點(diǎn)N的柱坐標(biāo)為，求它的直角坐
7、標(biāo).解答故點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為(0,2,3).例2(1)已知點(diǎn)P的球坐標(biāo)為，求它的直角坐標(biāo)；類型二 球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化解答解 由變換公式，得(2)已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－2，－2，－2)，求它的球坐標(biāo).解答解 由坐標(biāo)變換公式，可得反思與感悟 由直角坐標(biāo)化為球坐標(biāo)時，可設(shè)點(diǎn)的球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，利用變換公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝來求，要特別注意由直角坐標(biāo)求球坐標(biāo)時，要先弄清楚φ和θ所在的位置.跟蹤訓(xùn)練2把下列各點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).解答解 設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z).解答例3已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面AB
8、CD邊長為1，高AA1為，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，Ax為極軸，求點(diǎn)C1的直角坐標(biāo)，柱坐標(biāo)及球坐標(biāo).類型三 求點(diǎn)的坐標(biāo)解答設(shè)C1的球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，由x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ，反思與感悟(1)弄清空間直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)及球坐標(biāo)的互化公式.(2)結(jié)合圖形，更直觀地看到三種坐標(biāo)之間的聯(lián)系.跟蹤訓(xùn)練3在例3的條件下，求點(diǎn)C，A1的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)及球坐標(biāo).解答解C的直角坐標(biāo)為(1,1,0)，設(shè)C的柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)，球坐標(biāo)為(r，φ，θ)(ρ≥0,0≤φ≤
9、π，0≤θ<2π).達(dá)標(biāo)檢測答案1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，P在xOy平面上的射影為Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為12345√2.設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(2,0,2)，則點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為12345答案√3.在球坐標(biāo)系中，方程r＝2表示空間的A.球B.球面C.圓D.直線12345答案√4.點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為_____.12345答案解析5123455.已知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,2,3)，球坐標(biāo)為(r，φ，θ)，則tanφ＝____，tanθ＝__
