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1、第三章a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm矩陣的初等變換與線形方程組1§3.1、矩陣的初等變換1、矩陣的初等變換引例解方程組:增廣矩陣2解方程的三種變換:1)互換兩個(gè)方程的位置；2)用一個(gè)非零數(shù)乘某一個(gè)方程；3)把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上去．3注：上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．對(duì)方程組施行的三種同解變換實(shí)質(zhì)上是對(duì)方程組的系數(shù)進(jìn)行運(yùn)算.4【
2、定義2.7】下面三種變換稱為矩陣的初等行(列)變換:(1)對(duì)調(diào)兩行(列)(對(duì)調(diào)i與j兩行(例)記為)(3)把某一行(列)所有元素的k倍分別加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去(第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,記為).注1）矩陣的初等行、列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。2）矩陣的初等變換是可逆的，而且是同型的；逆變換逆變換逆變換(2)以數(shù)乘第i行(列)的所有元素(記為)5如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換變成矩陣B,則稱矩陣A與B行等價(jià)，記做A~B。等價(jià)矩陣等價(jià)矩陣之間的性質(zhì)如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等列變換變成矩陣B,則稱矩陣A與B列等價(jià)，記做
3、A~B。如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣B,則稱矩陣A與B等價(jià)，記做A~B。6形如:的矩陣稱為行階梯矩陣.特點(diǎn)1）若矩陣有零行，那么零行全部位于非零行的下方；2）各個(gè)非零行的左起第一個(gè)非零元素的列序數(shù)由上到下嚴(yán)格遞增。具有特點(diǎn)1）~3）的行階梯矩陣稱為行最簡(jiǎn)矩陣3）各個(gè)非零行左起的第一個(gè)非零元素為1，且其所在的列除此元素外，其余元素均為零。一個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換可以化成行階梯矩陣和行最簡(jiǎn)矩陣。7例1用初等變換化簡(jiǎn)矩陣矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)型注:1.任一矩陣都可經(jīng)過(guò)初等行變換化成行階梯矩陣；2.任一矩陣都可經(jīng)過(guò)初等行變換化成行最簡(jiǎn)矩陣；3.
4、任一矩陣都可經(jīng)初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)型。行階梯型行最簡(jiǎn)型注意！！8例2設(shè)解910例2設(shè)解與A有什么關(guān)系呢11若把矩陣(A，E)的行最簡(jiǎn)形記作(E，X)，則E應(yīng)是A的行最簡(jiǎn)形，即；并可驗(yàn)證AX=E，即X=A-1.下節(jié)我們將證明，對(duì)任何方陣A，的充分必要條件是A可逆，且當(dāng)A可逆時(shí)，EAr~EAr~12【定義2.9】由單位矩陣經(jīng)一次初等變換而得到的矩陣稱為初等矩陣.如對(duì)三階單位矩陣E施行三種初等變換得到的三種初等矩陣為：E23=E3(k)=E12(k)=初等矩陣分為三類,分別記為Eij、Ei(k)、Eij(k),其中Eij:交換單位矩陣E的第i
5、，j行,得到的初等矩陣。Ei(k)：?jiǎn)挝痪仃嘐的第i行的元素乘以數(shù)k,得到的初等矩陣。Eij(k)：?jiǎn)挝痪仃嘐的第j行乘以數(shù)k加到第i行,得到的初等矩陣。對(duì)單位陣經(jīng)一次初等行變換與經(jīng)一次列變換，得到的初等矩陣相同嗎？(列)(列)(第i列)(第j列)2、初等矩陣的概念131）初等矩陣都是可逆矩陣,并且初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣,即:2）初等矩陣的轉(zhuǎn)置還是初等矩陣，即：3）對(duì)A施行一次初等行變換的結(jié)果等于用一個(gè)相應(yīng)的初等陣左乘矩陣A;對(duì)A施行一次初等列變換的結(jié)果等于用一個(gè)相應(yīng)的初等陣右乘矩陣A.行變換：列變換：初等矩陣的性質(zhì)：14如：
6、15A=P1P2…Pk.【證】充分性:設(shè)有初等陣P1，P2，…,Pk,使A=P1P2…Pk.即A=P1P2…Pk,【定理2】矩陣A可逆的充要條件是:存在有限個(gè)初等陣P1，P2，…,Pk，使因初等陣是可逆矩陣,且可逆陣的積還是可逆陣，所以A可逆。必要性使，因A可逆，所以F也可逆，由16【推論2】設(shè)A是可逆矩陣,則A可以只經(jīng)過(guò)初等行變換化成單位矩陣E.【推論1】?jī)蓚€(gè)型矩陣A、B等價(jià)的充要條件是:存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q,使PAQ=B.這表明,只經(jīng)過(guò)初等行變換便可將A化成單位矩陣.注：矩陣A可逆的充要條件是A與單位矩陣E等價(jià).【
7、證推論2】因A可逆,所以A-1也可逆,由定理2存在初等陣P1,P2,…,Ps,使A-1=P1P2…Ps于是有A-1A=P1,P2,…,PsA=E17設(shè)A可逆，則存在有限個(gè)初等矩陣下面我們來(lái)證明前面留下的一個(gè)結(jié)論：求逆矩陣18例1設(shè)求A－1.解：r2－2r1r3－3r119r1－2r3r2－5r3r1+r2r3－r220例2設(shè)分析：2122列變換求逆矩陣23注意：求方陣的逆矩陣24小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)2.初等變換254.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換5.利用初等變
8、換求逆陣的步驟是:26作業(yè)27§3.2、矩陣的秩1.矩陣秩的概念則均是A的子陣.是A的兩個(gè)二階子式.【定義2.8】矩陣A中非零子式的最高階數(shù)叫作矩陣A的秩.記為R(A).如果A是零矩陣,規(guī)定R(A)=0.將矩陣的某些行或某些列劃去，余
