金融工程 第八章 布萊克-斯科爾斯-莫頓模型.ppt

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1、第14章Black-Scholes-Merton模型金融工程內(nèi)容提綱股票價格和收益的分布性質(zhì)波動率布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程風(fēng)險中性定價布萊克-斯科爾斯定價公式隱含波動率股息對期權(quán)定價的影響2金融工程第八章金融工程第八章3維納過程：布朗運(yùn)動假設(shè)股票價格的波動為布朗運(yùn)動（維納過程），在離散情況下，則為隨機(jī)游走序列。：股票價格在一個很短的時間內(nèi)的變化。μ：股票的年收益率期望；σ：股價的年波動率。dz基本維納過程：(1)，其中dz代表影響股票價格變化的隨機(jī)因素標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；(2)在任何兩個不相重疊的dt內(nèi)，變化量dz相互之間獨(dú)立（方差可加）。

2、馬爾科夫過程與維納過程性質(zhì)1，dz本身服從正態(tài)分布，并且dz的期望值=0，dz的方差=dt；性質(zhì)2意味著變量z服從馬爾科夫過程。馬爾科夫過程：只有標(biāo)的變量的當(dāng)前值與未來的預(yù)測有關(guān)，變量的歷史以及變量從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。馬爾科夫過程與弱有效市場一致：股票的當(dāng)前價格包含過去價格的所有信息。金融工程第八章414.1股價的對數(shù)正態(tài)分布性質(zhì)令股價為S定義：m為股票每年的收益率期望；s為股票價格每年的波動率在Dt時間段股票收益(DS/S)的均值為mDt，標(biāo)準(zhǔn)差為，股票收益服從正態(tài)分布：代表期望為m，方差為v的正態(tài)分布。金融工程第八章

3、5對數(shù)正態(tài)分布：如果一個隨機(jī)變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，那么我們就定義這個隨機(jī)變量本身服從對數(shù)正態(tài)分布：lnST服從正態(tài)分布，則ST服從對數(shù)正態(tài)分布。6金融工程第八章對數(shù)正態(tài)分布例14-2P2127金融工程第八章14.2收益率的分布若x代表從0~T之間以連續(xù)復(fù)利計的收益率，則金融工程第八章814.3預(yù)期收益率μ股價在T時刻的期望值為S0emT；在一個短期Dt內(nèi)股票價格變化百分比的期望值是mDt；在所有數(shù)據(jù)覆蓋的區(qū)間上，股票的連續(xù)復(fù)利收益率的期望為m–s2/2；mDt=E(DSi/S)，在每個小區(qū)間上股票價格的平均收益率。金融工程第八章914.4

4、波動率volatility股票的波動率是用來度量股票提供收益的不確定性；股票價格的波動率可以被定義為股票在1年內(nèi)按連續(xù)復(fù)利所提供收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。在Dt時間內(nèi)股票價格百分比變化（收益率）的標(biāo)準(zhǔn)差為：如果股價為$50，波動率為30%，對應(yīng)于每周價格百分比變化的標(biāo)準(zhǔn)差近似地等于：10金融工程第八章14.4.1歷史數(shù)據(jù)法1、在時間長度為t年內(nèi)，每個區(qū)間結(jié)束時，觀察到股價為S0，S1，...，Sn。2、計算第i個區(qū)間結(jié)束時的股票收益率:3、計算ui的標(biāo)準(zhǔn)差s;4、由（14-2）得：ui的標(biāo)準(zhǔn)差為，因此有：11金融工程第八章14.4.2交易日天數(shù)與日歷

5、天數(shù)交易所開盤交易時的波動率比關(guān)閉時的波動率要高；因此，由歷史數(shù)據(jù)計算波動率或期權(quán)期限時，采用的是交易日天數(shù)（252天）而不是日歷天數(shù)；金融工程第八章1214.5布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程的概念背景：1973年，美國芝加哥大學(xué)教授FischerBlack&MyronScholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權(quán)價格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，RobertC.Merton獨(dú)立地提出了一個更為一般化的模型。斯科爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。我們將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-斯科爾斯-默頓

6、期權(quán)定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價的一般方法。13金融工程第八章基本思路：構(gòu)建無風(fēng)險交易組合構(gòu)建：可由期權(quán)與標(biāo)的股票所組成的無風(fēng)險組合，組合收益率等于無風(fēng)險利率r。原因：①股票價格和期權(quán)價格均受到同一種不定性因素（股價變動）的影響；②在任意短時期內(nèi)，衍生品價格與股價完全相關(guān)性；③在短時間內(nèi)，股票盈虧可抵消期權(quán)帶來的盈虧；例：假設(shè)△c=0.4△S，可構(gòu)造無風(fēng)險交易組合：0.4只股票的多頭；一個看漲期權(quán)的空頭；14金融工程第八章15金融工程第八章假設(shè)：金融工程第八章161、股票價格遵循幾何布朗運(yùn)動，其中u和s為常數(shù)；

7、2、可以賣空證券，并且可以完全使用所得收入；3、無交易費(fèi)用和稅收，所有證券均可無限分割；4、在期權(quán)期限內(nèi)，股票不支付股息；5、不存在無風(fēng)險套利機(jī)會；6、證券交易為連續(xù)進(jìn)行；7、短期無風(fēng)險利率r為常數(shù)，并對所有期限都是相同的。：14.6布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程的推導(dǎo)（1）由于股票價格S遵循幾何布朗運(yùn)動，在一個小的時間間隔△t中，S的變化值△S：（2）設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得，在一個小的時間間隔中，f的變化值△f為：17金融工程第八章14.6布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程的推導(dǎo)（3）為了消除維納

8、過程（風(fēng)險源）△z，可以構(gòu)建一個包括一單位衍生證券空頭和單位股票多頭的組合。令代表該投資組合當(dāng)前的價值，則：在時間后，該投資組合的價值變化為：代入△f和△S表達(dá)式，可得金融工程第