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1、第十二節(jié)(一)導數的應用上海新王牌教育[主干知識梳理]一、函數的單調性在(a，b)內可導函數f(x)，f′(x)在(a，b)任意子區(qū)間內都不恒等于0.f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為．f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上為．增函數減函數二、函數的極值1．函數的極小值：函數y＝f(x)在點x＝a的函數值f(a)比它在點x＝a附近其它點的函數值都小，f′(a)＝0，而且在點x＝a附近的左側，右側，則點a叫做函數y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數y＝f(x)的極小值．f′(x)＜0f′(x)＞02．函數的極大值：函數y＝f(x)在點x＝b的函數值f(b)
2、比它在點x＝b附近的其他點的函數值都大，f′(b)＝0，而且在點x＝b附近的左側，右側，則點b叫做函數y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數y＝f(x)的極大值．極小值點，極大值點統稱為極值點，極大值和極小值統稱為極值．f′(x)＞0f′(x)＜0三、函數的最值1．在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．2．若函數f(x)在[a，b]上單調遞增，則為函數的最小值，為函數的最大值；若函數f(x)在[a，b]上單調遞減，則為函數的最大值，為函數的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)[基礎自測自評]1．(教材習題改編)若函數f(x)
3、＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3時取得極值，則a等于()A．2B．3C．4D．5D[∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.]2．(2013·浙江高考)已知函數y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y＝f′(x)的圖象如右圖所示，則該函數的圖象是()B[由導函數圖象知，函數f(x)在[－1，1]上為增函數．當x∈(－1，0)時f′(x)由小到大，則f(x)圖象的增長趨勢由緩到快，當x∈(0，1)時f′(x)由大到小，則f(x)的圖象增長趨勢由快到緩，故選B.]3．(2012·陜西高考)設函數f(x)＝xex，則()A．x＝1為f(
4、x)的極大值點B．x＝1為f(x)的極小值點C．x＝－1為f(x)的極大值點D．x＝－1為f(x)的極小值點D[求導得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函數f(x)的極小值點．]5．已知a>0，函數f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調增函數，則a的最大值是________．解析f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，則f′(1)≥0?a≤3.答案3[關鍵要點點撥]1．f′(x)>0與f(x)為增函數的關系：f′(x)>0能推出f(x)為增函數，但反之不一定．如函數f(x)
5、＝x3在(－∞，＋∞)上單調遞增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)為增函數的充分不必要條件．2．可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，即f′(x0)＝0是可導函數f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件．例如函數y＝x3在x＝0處有y′
6、x＝0＝0，但x＝0不是極值點．此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點．3．可導函數的極值表示函數在一點附近的情況，是在局部對函數值的比較；函數的最值是表示函數在一個區(qū)間上的情況，是對函數在整個區(qū)間上的函數值的比較．運用導數解決函數的單調性問題[規(guī)律方法]求可導函數單調區(qū)間的一般步驟
7、和方法(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內的一切實數根；(3)把函數f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；(4)確定f′(x)在各個開區(qū)間內的符號，根據f′(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區(qū)間內的增減性．[跟蹤訓練]1．已知a∈R，函數f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數的底數)．(1)當a＝2時，求函數f(x)的單調遞增區(qū)間；(2)是否存在a使函數f(x)為R上的單調遞減函數，若存在
8、，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．(2)若函數f(x)在R上單調遞減，則f′(x)≤0對x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0對x∈R都成立．∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0對x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，這是不可能的．故不存在a使函數f(x)在R上單調遞減．運用導數解決函數的極值問題[規(guī)律方法]求函數極值的步驟(1)確定函數的定義域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格；(4)由f′(x)＝0根的兩側導數的符號來判斷f′(x)在這
9、個根處取極
