冪等矩陣組合的可逆性.docx

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1、冪等矩陣組合的可逆性左可正,謝　濤(湖北師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北黃石435002>摘要：本文研究的是組合的兩個(gè)矩陣和的非奇異性。利用的可逆性和冪等矩陣的性質(zhì)，我們得到了兩個(gè)冪等矩陣和的組合的可逆性的一些充分條件和必要條件。推廣了J.J.KolihaandV.Rakocevic'[1],ZuoKe-zheng[2].的結(jié)論。b5E2RGbCAP關(guān)鍵詞：冪等矩陣；直和；矩陣的秩；核子空間；非奇異性MR(2000>主題分類號(hào)：15A03。15A24中圖分類號(hào):O151.21文章ID：0255-7797(2009>03-0285-041引言一個(gè)在數(shù)

2、域上的復(fù)矩陣，若，則我們稱未冪等矩陣；如果它是冪等且共軛的，那么我們叫它為一個(gè)正交投影，使得，其中表示的轉(zhuǎn)置。作為矩陣?yán)碚摰幕灸K之一，冪等矩陣在許多地方是非常有用的，并且已經(jīng)在大量文獻(xiàn)中被廣泛研究。p1EanqFDPw特別是，許多作者都研究了這個(gè)問題：如果和是冪等，那么在什么情況下和也是冪等？見，例。在什么情況下和非退化的？見，例。在這篇文章中，我們研究的是和之間非奇異性的關(guān)系，而且我們得到了兩個(gè)冪等矩陣6/6和的組合的可逆性的一些充分條件和必要條件。這些結(jié)論是由J.J.KolihaandV.Rakocevic'[1],ZuoKe-zhen

3、g[2].的結(jié)論推廣得到的。DXDiTa9E3d我們把記未復(fù)數(shù)域上的所有矩陣的集合。表示上的列向量空間。如果，則分別表示的秩，轉(zhuǎn)置，零空間和核空間。就表示所有復(fù)矩陣的結(jié)合，使得RTCrpUDGiT。一些關(guān)于的非奇異性的結(jié)果是由J.J.KolihaandV.Rakoˇcevic'([1]>,ZuoKe-zheng([2]>.的結(jié)論得到的。5PCzVD7HxA引理1.1[1]令，則下列條件是等價(jià)的：

4、，其中。引理1.3令，則是非退化的是非退化的。6/6證明由引理1.2我們很容易得到是非退化的是非退化的。令是非退化的。如果，則且，所以，又因?yàn)槭欠峭嘶?，所以，所以jLBHrnAILg。令。如果，則且，所以，所以是非退化的。2和的一些組合的非奇異性。我們的第一個(gè)結(jié)果給出了兩個(gè)冪等矩陣的一些組合的新的零空間。定理2.1令，，則<2.1）<2.2）證明假設(shè)，則，所以且，也就是說。假設(shè)，則，所以，所以，<2.1）中的第一個(gè)式子得證。我們首先知道且。假設(shè)，則。所以且，所以<2.2）中的第二個(gè)式子得證。同理和6/6也很容易驗(yàn)證。反過來，令，則，。<2.2

5、）得證。定理2.2令，，則是非退化的是非退化的。證明假設(shè)，，則所以。所以是非退化的。例2.3規(guī)定投影，，，則是可逆的，。但是是不可逆的?，F(xiàn)在我們研究的條件很明確，結(jié)合的奇異性，確定的奇異性。定理2.4令。則

6、則由引理1.1可知也是非退化的。則是非退化的<當(dāng)，當(dāng)，）由定理2.4得為非退化的。LDAYtRyKfE備注1從定理2.4和引理1.1我們獲得了類似的結(jié)果，如下所示：令，，，則是非退化的是非退化的。參考文獻(xiàn)6/6[1]KolihaJJ.,Rakoˇcevic'V..Thenullityandrankoflinearcombinationsofidempotentmatrices[J].LinearAlgebraAppl.,2006,418:11-14.Zzz6ZB2Ltk[2]ZuoKezheng.TheNullityandRankofCombi

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